Ce fichier fait en même temps office d'énoncé du travail et de compte rendu. Il doit donc être complété au cours de la séance, au fur et à mesure que vous réalisez le travail. Les modifications de ce fichier ./README.md et des fichiers modifiés et ajoutés par exemple dans les répertoires ./src ou ./img doivent donc être décrit dans l'historique du dépôt git, à travers une série de commit les plus simples possible (dits atomiques).
Ce fichier est rédigé, et doit être complété en utilisant le formatage markdown.
Ce travail me permet d'évaluer
- vos capacités initiales de programmation en python
- votre capacité à utiliser un document mathématique pour réaliser un programme
- votre capacité à apprendre un nouveau formalisme (python et surtout markdown)
- vos compétences techniques relatives à l'utilisation de git
- vos capacités à documenter avec un niveau de détail adapté votre travail.
Il n'est pas nécessaire d'aller au bout des questions de programmation (le niveau de départ en programmation au sein du groupe est très hétérogène), l'essentiel est que j'ai la possibilité de comprendre quels sont vos acquis sur les points ci-dessus.
À la fin de votre travail, il est donc capital de pousser (git push) vos modifications sur le serveur, afin que je puisse les voir
- prenre connaissance, brièvement, du langage Markdown propre à la plateforme Github.
Si vous lisez ceci, c'est que vous avez:
-
un compte sur la plateforme github.com, et un email validé de l'Université (IDNum)
-
utilisé le lien déposé sur moodle, et accepté la création automatique d'un dépôt git contenant ce répertoire de travail.
-
Une fois le dépôt créé, vous le voyez sur votre compte github (en ligne). Vous pouvez donc récupérer l'adresse et commencer à travailler (git clone <url à récupérer en ligne>).
-
N'oubliez pas de configurer git si nécessaire: git config --list, git config --local user.{name,email} pour regler vos identifiant et adresse email..
-
Préparez votre environnement de travail: éditeur de texte (emacs, vim, atom...) et terminaux (terminal par défaut du système, pour git et pour l'interpréteur ipython3), ou bien environnement de développement intégré (comme spyder3 ou pycharm).
Détaillez ci-dessous votre choix d'environnement de travail et les raisons de ce choix.
J'ai choisi de travailler avec un éditeur de texte et deux terminaux. Mon choix d'éditeur de texte s'est tourné vers Vscode qui va me permettre de modifier mon code ainsi que de "pousser" mes modifications du Copie working vers le staging et du staging vers le dépôt. Je vais ensuite utiliser un terminal pour "pousser" (push) mes modifications vers le github et actualiser les modifications du github sur ma machine ("pull") et un autre terminal pour exécuter mon code avec un interpréteur python (ipython3).
-
Puisque vous avez apporté des modifications cohérentes (réponse à la question 3. ci-dessus), validez ces modifications (git add et git commit -m "...").
-
Familiarisez vous avec le contenu du répertoire, qui devrait ressembler à :
├── README.md
├── img
│ └── test_1.png
├── src
│ ├── fonctions_test.py
│ ├── quadratures.py
│ └── tests.py
└── tex
├── memo_quadratures.pdf
├── memo_quadratures.tex
Quel est la nature (langage ?) et le rôle (texte, programme, autre) de chacun des fichiers présents ?
Dans le repository, on a le fichier ReadMe (en markdown) qui introduit et explique le projet présent sur le github. On a également une photo(.png), des fichiers pythons(.py), un pdf(.pdf) qui est un document permettant de préserver et protéger le contenu et la mise en page d'un ordinateur à l'autre et un fichier tex(.tex) permettant d'écrire un rapport en Latex (système de composition de documents).
Pensez à valider régulièrement votre travail, et à pousser les changements sur le serveur (git push) de temps en temps et surtout à la fin de la séance de travail
Le programme fournit permet de tester la formule du point milieu sur les monomes (puissance 0, 1, 2). Les résultats obtenus sont donnés dans le tableau et le graphe ci-dessous:
| n | erreur x^0 | erreur x^1 | erreur x^2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 8.333e-02 |
| 2 | 0 | 0 | 2.083e-02 |
| 4 | 0 | 0 | 51208e-03 |
| 8 | 0 | 0 | 1.302e-03 |
| 16 | 0 | 0 | 3.255e-04 |
| 32 | 0 | 0 | 8.138e-05 |
| 64 | 0 | 0 | 2.035e-05 |
| 128 | 0 | 0 | 5.086e-06 |
| 256 | 0 | 0 | 1.272e-06 |
| 512 | 0 | 0 | 3.179e-07 |
L'erreur est nulle pour l'intégration des fonctions
Pour la fonction
-
En suivant le modèle de la formule du point milieu, dans le fichier ./src/quadratures.py programmer la méthode des trapèzes (programmer une autre fonction dans le même fichier ./src/quadratures.py).
-
Tester cette nouvelle quadrature en utilisant comme modèle le programme ./src/tests.py: vérifier que cette formule calcul de manière exacte les intégrales de polynomes de degré au plus 1, et commet une erreur équivalente à
$h^2$ (ou encore$N^{-2}$ ). Reproduire ci-dessous les tableaux d'erreurs qui démontrent ce résultat, et inclure le graphe de convergence des approximations.
Le programme trap(f,a,b,n) présent dans le fichier python quadratures.py
permet de tester la formule des trapèzes sur les monomes (puissance 0, 1, 2).
Les résultats obtenus sont donnés dans le tableau et le graphe ci-dessous :
| n | erreur x^0 | erreur x^1 | erreur x^2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 1.667e-01 |
| 2 | 0 | 0 | 4.167e-02 |
| 4 | 0 | 0 | 1.042e-02 |
| 8 | 0 | 0 | 2.604e-03 |
| 16 | 0 | 0 | 6.510e-04 |
| 32 | 0 | 0 | 1.628e-04 |
| 64 | 0 | 0 | 4.069e-05 |
| 128 | 0 | 0 | 1.017e-05 |
| 256 | 0 | 0 | 2.543e-06 |
| 512 | 0 | 0 | 6.358e-07 |
- On veut tester nos formules pour d'autres fonctions que les polynômes. Pour cela, on ajoute les fonctions souhaitées dans le fichier ./src/fonctions_test.py. En suivant le modèle donné pour les monomes, programmer les fonctions, et une de leurs primitives
-
$f(x) = |x|$ et $g(x) = 0.5x|x|$; -
$f(x) = cos(x)$ et$g(x) = sin(x)$ ; -
$f(x) = exp(x)$ et$g(x) = exp(x)$ ; -
$f(x) = 1/(1+x^2)$ et$g(x) = atan(x)$ .
- Produire une unique figure qui compare les graphes de convergence de
l'erreur pour ces nouvelles fonctions integrées sur l'intervalle
$[-1,1]$ avec les méthodes du point milieu et des trapèzes. Insérez l'image ci-dessous, et faites tous les commentaires utiles.
Voici la figure comparant les erreurs des différentes méthodes sur l'intervalle
On peut voir que pour la fonction valeur absolue, il y a une grande erreur dans le cas où n = 1 pour les deux méthodes. D'après la figure, on peut en conclure que la méthode du point milieu est plus précise que la méthode des trapèzes. Avec ces résultats sous forme de tableau, on perd de la précision. En effet, il y a beaucoup d'informations qui se superposent, ce qui rend la lecture du graphe difficile.
Pour plus de précision, donnez un tableau comparatif des erreurs commise pour chacune de ces fonctions pour les deux méthodes.
Pour la fonction valeur absolue :
| n | erreur pt_milieu | erreur trapèzes |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 0 |
| 8 | 0 | 0 |
| 16 | 0 | 0 |
| 32 | 0 | 0 |
| 64 | 0 | 0 |
| 128 | 0 | 0 |
| 256 | 0 | 0 |
| 512 | 0 | 0 |
Pour la fonction cosinus :
| n | erreur pt_milieu | erreur trapèzes |
|---|---|---|
| 1 | 3.171e-01 | 6.023e-01 |
| 2 | 7.222e-02 | 1.426e-01 |
| 4 | 1.766e-02 | 3.521e-02 |
| 8 | 4.391e-03 | 8.774e-03 |
| 16 | 1.096e-03 | 2.192e-03 |
| 32 | 2.739e-04 | 5.479e-04 |
| 64 | 6.848e-05 | 1.370e-04 |
| 128 | 1.712e-05 | 3.424e-05 |
| 256 | 4.280e-06 | 8.560e-06 |
| 512 | 1.070e-06 | 2.140e-06 |
Pour la fonction exponentielle :
| n | erreur pt_milieu | erreur trapèzes |
|---|---|---|
| 1 | 3.504e-01 | 7.358e-01 |
| 2 | 9.515e-02 | 1.927e-01 |
| 4 | 2.431e-02 | 4.876e-02 |
| 8 | 6.110e-03 | 1.223e-02 |
| 16 | 1.530e-03 | 3.060e-03 |
| 32 | 3.825e-04 | 7.651e-04 |
| 64 | 9.564e-05 | 1.913e-04 |
| 128 | 2.391e-05 | 4.782e-05 |
| 256 | 5.977e-06 | 1.195e-05 |
| 512 | 1.494e-06 | 2.989e-06 |
Pour la fonction derivée de arctangente :
| n | erreur pt_milieu | erreur trapèzes |
|---|---|---|
| 1 | 4.292e-01 | 5.708e-01 |
| 2 | 2.920e-02 | 7.080e-02 |
| 4 | 1.038e-02 | 2.080e-02 |
| 8 | 2.604e-03 | 5.208e-03 |
| 16 | 6.510e-04 | 1.302e-03 |
| 32 | 1.628e-04 | 3.255e-04 |
| 64 | 4.069e-05 | 8.138e-05 |
| 128 | 1.017e-05 | 2.035e-05 |
| 256 | 2.543e-06 | 5.086e-06 |
| 512 | 6.358e-07 | 1.272e-06 |
- Programmez maintenant la méthode de Simpson et les méthodes de Gauss-Legendre à 2 et 3 points (voir le document ./tex/memo_quadratures.pdf).
- Expliquez la stratégie de programmation retenue.
Dans les méthodes que nous avons programmées, nous avons mis en place deux
stratégies de programmation. Dans un premier temps, les formules de Newton-Côtes
où l'on va grâce à une interpolation polynomiale de la fonction en des points
répartis uniformément calculer l'intégrale de la fonction. Ces formules
regroupent la méthode du point milieu, des trapèzes et de Simpson.
La seconde stratégie consiste à utiliser les formules de Gauss (Gauss-Legendre
à deux points et à trois points). On choisi cette fois ci des points
d'interpolations non réguliers sur l'intervalle d'intégration.
- Vérifiez numériquement que les formules intègrent exactement les polynomes de degré au plus 3 (Simpson, Gauss-Legendre à 2 points) ou 5 (Gauss-Legendre à 3 points).
Les formules de Simpson et Gauss-Legendre à 2 points vérifient bien les
polynomes de degré au plus 3 et la formule de Gauss-Legendre à 3 points
vérifie bien les polynomes de degré au plus 5 (voir graphes et tableaux
question 8).
- Calculez numériquement l'ordre de convergence de ces méthodes (graphes et tableaux).
Le programme `simpson(f,a,b,n)` présent dans le fichier python quadratures.py
permet de tester la formule de simpson sur les monomes (puissance 0, 1, 2, 3, 4).
Les résultats obtenus sont donnés dans le graphe et le tableau ci-dessous:
| n | erreur x^0 | erreur x^1 | erreur x^2 | erreur x^3 | erreur x^4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2.667e-01 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1.667e-02 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1.042e-03 |
| 8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6.510e-05 |
| 16 | 0 | 0 | 0 | 0 | 4.069e-06 |
| 32 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2.543e-07 |
| 64 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1.589e-08 |
| 128 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9.934e-10 |
| 256 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6.209e-11 |
| 512 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3.880e-12 |
Le programme `Gauss_Leg_2(f,a,b,n)` présent dans le fichier python
quadratures.py permet de tester la formule de Gauss-Legendre à 2 points sur
les monomes (puissance 0, 1, 2, 3, 4). Les résultats obtenus sont donnés dans
le graphe et le tableau ci-dessous:
| n | erreur x^0 | erreur x^1 | erreur x^2 | erreur x^3 | erreur x^4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 0 | 0 | 2.220e-16 | 0 | 1.778e-01 |
Le programme `Gauss_Leg_3(f,a,b,n)` présent dans le fichier python
quadratures.py permet de tester la formule de Gauss-Legendre à 3 points sur
les monomes (puissance 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6). Les résultats obtenus sont donnés
dans le graphe et le tableau ci-dessous:
| n | erreur x^0 | erreur x^1 | erreur x^2 | erreur x^3 | erreur x^4 | erreur x^5 | erreur x^6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 0 | 0 | 1.110e-16 | 0 | 5.551e-17 | 0 | 4.571e-02 |
- On peut maintenant comparer l'ensemble des méthodes programmées, pour chacune des fonctions de la question 3. Produisez les tableaux et graphes d'erreurs que vous jugez utile et discutez les résultats obtenus.
Voici la figure comparant les erreurs des différentes méthodes d'intégration
de la fonction f(x) = |x| sur l'intervalle
Voici la figure comparant les erreurs des différentes méthodes d'intégration
de la fonction f(x) = cos(x) sur l'intervalle
Voici la figure comparant les erreurs des différentes méthodes d'intégration
de la fonction f(x) = exp(x) sur l'intervalle
Voici la figure comparant les erreurs des différentes méthodes d'intégration
de la fonction f(x) = 1/(1+x^2) sur l'intervalle
Pour la fonction valeur absolue :
| n | erreur pt_milieu | erreur trapèzes | erreur simpson | erreur GL2 | erreur GL3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 3.333e-01 | ||
| 2 | 0 | 0 | 0 | 1.547e-01 | |
| 3 | 1.393e-01 | ||||
| 4 | 0 | 0 | 0 | ||
| 8 | 0 | 0 | 0 | ||
| 16 | 0 | 0 | 0 | ||
| 32 | 0 | 0 | 0 | ||
| 64 | 0 | 0 | 0 | ||
| 128 | 0 | 0 | 0 | ||
| 256 | 0 | 0 | 0 | ||
| 512 | 0 | 0 | 0 |
Pour la fonction cosinus :
| n | erreur pt_milieu | erreur trapèzes | erreur simpson | erreur GL2 | erreur GL3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3.171e-01 | 6.023e-01 | 1.059e-02 | ||
| 2 | 7.222e-02 | 1.426e-01 | 6.022e-04 | 7.118e-03 | |
| 3 | 6.158e-05 | ||||
| 4 | 1.766e-02 | 3.521e-02 | 3.680e-05 | ||
| 8 | 4.391e-03 | 8.774e-03 | 2.287e-06 | ||
| 16 | 1.096e-03 | 2.192e-03 | 1.427e-07 | ||
| 32 | 2.739e-04 | 5.479e-04 | 8.918e-09 | ||
| 64 | 6.848e-05 | 1.370e-04 | 5.573e-10 | ||
| 128 | 1.712e-05 | 3.424e-05 | 3.483e-11 | ||
| 256 | 4.280e-06 | 8.560e-06 | 2.177e-12 | ||
| 512 | 1.070e-06 | 2.140e-06 | 1.359e-13 |
Pour la fonction exponentielle :
| n | erreur pt_milieu | erreur trapèzes | erreur simpson | erreur GL2 | erreur GL3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3.504e-01 | 7.358e-01 | 1.165e-02 | ||
| 2 | 9.515e-02 | 1.927e-01 | 7.924e-04 | 7.706e-03 | |
| 3 | 6.546e-05 | ||||
| 4 | 2.431e-02 | 4.876e-02 | 5.063e-05 | ||
| 8 | 6.110e-03 | 1.223e-02 | 3.182e-06 | ||
| 16 | 1.530e-03 | 3.060e-03 | 1.992e-07 | ||
| 32 | 3.825e-04 | 7.651e-04 | 1.245e-08 | ||
| 64 | 9.564e-05 | 1.913e-04 | 7.783e-10 | ||
| 128 | 2.391e-05 | 4.782e-05 | 4.864e-11 | ||
| 256 | 5.977e-06 | 1.195e-05 | 3.041e-12 | ||
| 512 | 1.494e-06 | 2.989e-06 | 1.901e-13 |
Pour la fonction derivée de arctangente :
| n | erreur pt_milieu | erreur trapèzes | erreur simpson | erreur GL2 | erreur GL3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4.292e-01 | 5.708e-01 | 9.587e-02 | ||
| 2 | 2.920e-02 | 7.080e-02 | 4.130e-03 | 7.080e-02 | |
| 3 | 1.254e-02 | ||||
| 4 | 1.038e-02 | 2.080e-02 | 1.201e-05 | ||
| 8 | 2.604e-03 | 5.208e-03 | 7.557e-08 | ||
| 16 | 6.510e-04 | 1.302e-03 | 1.182e-09 | ||
| 32 | 1.628e-04 | 3.255e-04 | 1.848e-11 | ||
| 64 | 4.069e-05 | 8.138e-05 | 2.887e-13 | ||
| 128 | 1.017e-05 | 2.035e-05 | 4.219e-15 | ||
| 256 | 2.543e-06 | 5.086e-06 | 0 | ||
| 512 | 6.358e-07 | 1.272e-06 | 0 |
On remarque que parmis les formules de Newton-Cotes, la méthode de Simpson est la plus précise. On remarque également que les deux méthodes de quadrature de Gauss sont plus précises pour les fonctions polynomiales que celles de NC mais le sont moins pour celles qui ne les fonctions non polynomiales.
N'oubliez pas de valider les modifications faites le plus souvent possible (validations atomiques), et de documenter intelligiblement l'historique associé (les messages). Finalement, n'oubliez pas de pousser votre travail sur le dépôt.