✨ LaTeX 数学公式语法大全 2.0 📘

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两年前的版本，说来惭愧，当时Push完就没再管了，这次重新整理了一下，助人也助己，希望对大家有所帮助~

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如果有写错的地方，欢迎指正，感谢！😘

📘 LaTeX 语法

📐 1. LaTeX 数学模式

1.1. 行内数学模式

在文本中插入数学公式：

$E=mc^2$

$E=mc^2$ 行内模式的数学公式，适用于正文中的数学表达。

1.2. 独立数学模式

使数学公式独占一行：

$$
E=mc^2
$$

独立模式的数学公式，适用于单独一行的数学表达。

$$ E=mc^2 $$

1.3. 带编号公式

\begin{equation}
E=mc^2
\end{equation}

$$ \begin{equation} E=mc^2 \end{equation} $$

带有编号的数学公式，适用于论文或报告中公式引用。（Markdown中可能无法显示编号 ）

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🔣 2. 保留字符

LaTeX 环境中具有特殊含义的保留字符，不能直接使用，必须通过指定的语法实现：

符号	LaTeX 代码	中文说明
#	\#	井号，数学环境中无特殊含义
$	\$	美元符号，通常用于货币符号
%	\%	百分号，表示百分比
&	\&	与符号，通常用于逻辑表达
_	\_	下划线，LaTeX 需要转义
{}	\{ \}	花括号，用于分组
\	\backslash	反斜杠，LaTeX 转义符

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🔠 3. 希腊字母

3.1. 小写希腊字母

符号	LaTeX 代码	中文音译
$\alpha$	\alpha	阿尔法
$\beta$	\beta	贝塔
$\gamma$	\gamma	伽马
$\delta$	\delta	德尔塔
$\epsilon$	\epsilon	艾普西龙（普通 epsilon）
$\varepsilon$	\varepsilon	伪艾普西龙（变体 epsilon）
$\zeta$	\zeta	截塔
$\eta$	\eta	伊塔
$\theta$	\theta	西塔
$\vartheta$	\vartheta	变体西塔
$\iota$	\iota	约塔
$\kappa$	\kappa	卡帕
$\lambda$	\lambda	兰布达
$\mu$	\mu	缪
$\nu$	\nu	纽
$\xi$	\xi	克西
$\pi$	\pi	派（圆周率）
$\varpi$	\varpi	变体派
$\rho$	\rho	罗
$\varrho$	\varrho	变体罗
$\sigma$	\sigma	西格玛
$\varsigma$	\varsigma	终结西格玛（变体 sigma）
$\tau$	\tau	陶
$\upsilon$	\upsilon	宇普西龙
$\phi$	\phi	菲
$\varphi$	\varphi	变体菲
$\chi$	\chi	氚（发音接近“开”）
$\psi$	\psi	普赛
$\omega$	\omega	欧米伽

3.2. 大写希腊字母

符号	LaTeX 代码	中文音译
$\Gamma$	\Gamma	伽马（大写）
$\Delta$	\Delta	德尔塔（大写）
$\Theta$	\Theta	西塔（大写）
$\Lambda$	\Lambda	兰布达（大写）
$\Xi$	\Xi	克西（大写）
$\Pi$	\Pi	派（大写，数学常用于求和）
$\Sigma$	\Sigma	西格玛（大写，数学常用于求和）
$\Upsilon$	\Upsilon	宇普西龙（大写）
$\Phi$	\Phi	菲（大写）
$\Psi$	\Psi	普赛（大写）
$\Omega$	\Omega	欧米伽（大写，数学物理常用）

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➗ 4. 二元运算符

符号	LaTeX 代码	中文说明
$+$	+	加号
$-$	-	减号
$\times$	\times	乘号
$\div$	\div	除号
$\cdot$	\cdot	乘积点
$\oplus$	\oplus	直和（用于向量空间、群论）
$\ominus$	\ominus	直差
$\otimes$	\otimes	直积
$\oslash$	\oslash	直除
$\odot$	\odot	圆点乘法
$\star$	\star	星乘法
$\circ$	\circ	复合映射
$\bullet$	\bullet	实心点（乘法或列表符号）
$\pm$	\pm	正负号
$\mp$	\mp	负正号
$\bigoplus$	\bigoplus	直和运算符（大运算符版本）
$\bigotimes$	\bigotimes	直积运算符（大运算符版本）
$\bigodot$	\bigodot	直乘运算符（大运算符版本）

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⚖️ 5. 二元关系符

符号	LaTeX 代码	中文说明
$=$	=	等于
$\neq$	\neq	不等于
$\approx$	\approx	约等于
$\equiv$	\equiv	恒等于
$&lt;$	<	小于
$&gt;$	>	大于
$\leq$	\leq	小于等于
$\geq$	\geq	大于等于
$\ll$	\ll	远小于
$\gg$	\gg	远大于
$\prec$	\prec	先于（偏序关系）
$\succ$	\succ	后于（偏序关系）
$\preceq$	\preceq	小于等于（偏序）
$\succeq$	\succeq	大于等于（偏序）
$\sim$	\sim	相似于
$\nsim$	\nsim	不相似
$\simeq$	\simeq	同构
$\asymp$	\asymp	渐近等于
$\propto$	\propto	成比例

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🧠 6. 逻辑符号

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\wedge$	\wedge	逻辑与（合取）
$\vee$	\vee	逻辑或（析取）
$\neg$	\neg	逻辑非（否定）
$\Rightarrow$	\Rightarrow	蕴含（如果...那么）
$\Leftrightarrow$	\Leftrightarrow	当且仅当
$\forall$	\forall	对所有
$\exists$	\exists	存在
$\nexists$	\nexists	不存在
$\top$	\top	逻辑真
$\bot$	\bot	逻辑假

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📦 7. 集合符号

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\emptyset$	\emptyset	空集
$\in$	\in	属于
$\notin$	\notin	不属于
$\subseteq$	\subseteq	子集
$\subset$	\subset	真子集
$\nsubseteq$	\nsubseteq	不是子集
$\supset$	\supset	包含
$\supseteq$	\supseteq	超集
$\nsupseteq$	\nsupseteq	不是超集
$\cup$	\cup	并集
$\cap$	\cap	交集
$\setminus$	\setminus	差集
$\bigcup$	\bigcup	大并集
$\bigcap$	\bigcap	大交集

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↔️ 8. 箭头符号

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\to$	\to	右箭头
$\leftarrow$	\leftarrow	左箭头
$\Rightarrow$	\Rightarrow	右蕴含箭头
$\Leftarrow$	\Leftarrow	左蕴含箭头
$\leftrightarrow$	\leftrightarrow	左右箭头
$\Leftrightarrow$	\Leftrightarrow	双向蕴含箭头
$\longrightarrow$	\longrightarrow	长右箭头
$\longleftarrow$	\longleftarrow	长左箭头
$\mapsto$	\mapsto	映射箭头
$\longmapsto$	\longmapsto	长映射箭头
$\uparrow$	\uparrow	向上箭头
$\downarrow$	\downarrow	向下箭头
$\updownarrow$	\updownarrow	上下箭头
$\Uparrow$	\Uparrow	向上双箭头
$\Downarrow$	\Downarrow	向下双箭头
$\Updownarrow$	\Updownarrow	上下双箭头

🔢 9. 分数

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\frac{a}{b}$	\frac{a}{b}	普通分数
$\dfrac{a}{b}$	\dfrac{a}{b}	强制分数（适用于行内公式）
$\tfrac{a}{b}$	\tfrac{a}{b}	小型分数（适用于较小的公式）

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✔️ 10. 根式

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\sqrt{x}$	\sqrt{x}	平方根
$\sqrt[n]{x}$	\sqrt[n]{x}	n 次方根

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📈 11. 指数与对数

符号	LaTeX 代码	中文说明
$a^b$	a^b	指数
$e^x$	e^x	自然指数
$\log x$	\log x	对数（默认底数为10）
$\ln x$	\ln x	自然对数（底数为 e）
$\log_a b$	\log_a b	底数 a 的对数

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📉 12. 微分与导数

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\frac{d}{dx} f(x)$	\frac{d}{dx} f(x)	一阶导数
$\frac{d^2}{dx^2} f(x)$	\frac{d^2}{dx^2} f(x)	二阶导数
$\frac{\partial f}{\partial x}$	\frac{\partial f}{\partial x}	偏导数
$\nabla f$	\nabla f	梯度
$\Delta f$	\Delta f	拉普拉斯算子
$\dot{x}$	\dot{x}	一阶导数（牛顿记号）
$\ddot{x}$	\ddot{x}	二阶导数（牛顿记号）

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🔝 13. 极限

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\lim_{x \to a} f(x)$	\lim_{x \to a} f(x)	极限
$\lim_{x \to \infty} f(x)$	\lim_{x \to \infty} f(x)	无穷极限

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∫ 14. 积分

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\int f(x)dx$	\int f(x)dx	不定积分
$\int_{a}^{b} f(x)dx$	\int_{a}^{b} f(x)dx	定积分
$\iint f(x,y)dxdy$	\iint f(x,y)dxdy	二重积分
$\iiint f(x,y,z)dxdydz$	\iiint f(x,y,z)dxdydz	三重积分

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✍️ 15. 矩阵

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$	\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}	方括号矩阵
$\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$	\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}	圆括号矩阵
$\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}$	\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}	行列式
$\begin{Vmatrix} a & b \ c & d \end{Vmatrix}$	\begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix}	双竖线矩阵
$\begin{matrix} a & b \ c & d \end{matrix}$	\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}	无括号矩阵

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➡️ 16. 向量

16.1 向量的加粗表示

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\mathbf{v}$	\mathbf{v}	向量，适用于字母
$\mathbf{v}$	\bm{v}	加粗向量（适用于所有数学符号，需 \usepackage{bm}）
$\boldsymbol{\alpha}$	\boldsymbol{\alpha}	加粗希腊字母（适用于 \alpha, \beta 等）

16.2. 向量的箭头表示

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\vec{v}$	\vec{v}	向量符号，表示带箭头的向量
$\overrightarrow{AB}$	\overrightarrow{AB}	表示从 A 指向 B 的向量
$\overleftarrow{AB}$	\overleftarrow{AB}	表示从 B 指向 A 的向量

16.3 单位向量

单位向量表示方向向量，通常用 加帽符号：

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\hat{v}$	\hat{v}	单位向量
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$	\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}	直角坐标系中的标准基向量

16.4 向量的点积与叉积

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$	\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}	向量的点积
$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$	\mathbf{a} \times \mathbf{b}	向量的叉积

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🔄 17. 方程与方程组

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\begin{align} x + y &= 2 \ x - y &= 0 \end{align}$	\begin{align} x + y &= 2 \\ x - y &= 0 \end{align}	对齐的方程组
$\begin{cases} ax + by = c \ dx + ey = f \end{cases}$	\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}	分段定义或方程组

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✏️ 18. 空格与换行

符号	LaTeX 代码	中文说明
$a\ b$	a\ b	小空格
$a\quad b$	a\quad b	大空格
$a\qquad b$	a\qquad b	超大空格
$a\ b$	a\\ b	换行
$a,b$	a\,b	细小空格
$a!b$	a\!b	负空格（缩小间距）
$\text{This is a~test.}$	\text{This is a~test.}	硬空格

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🎨 19. 颜色

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\textcolor{red}{text}$	\textcolor{red}{text}	颜色（红色）
$\textcolor{blue}{text}$	\textcolor{blue}{text}	颜色（蓝色）
$\color{green}text$	\color{green}text	颜色（绿色）

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🖍️ 20. 字体

符号	LaTeX 代码	中文说明
$\mathbf{x}$	\mathbf{x}	加粗
$\mathit{x}$	\mathit{x}	斜体
$\mathcal{L}$	\mathcal{L}	手写体
$\mathbb{R}$	\mathbb{R}	黑板体（常用于数集）
$\mathrm{x}$	\mathrm{x}	直立体
$\mathtt{x}$	\mathtt{x}	打字机字体
$\mathscr{L}$	\mathscr{L}	花体（数学符号）

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💎完整示例

🌊 1. 线性代数

1.1 矩阵乘法

给定两个矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 和 $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$，它们的矩阵乘法定义如下：

$$
C = AB, \quad C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}, \quad C \in \mathbb{R}^{m \times p}
$$

$$ C = AB, \quad C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}, \quad C \in \mathbb{R}^{m \times p} $$

说明：矩阵 $C$ 的元素 $C_{ij}$ 由矩阵 $A$ 的第 $i$ 行与矩阵 $B$ 的第 $j$ 列按对应元素相乘后求和得到。

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1.2 特征值与特征向量

对于方阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，如果存在非零向量 $\bm{v}$ 和标量 $\lambda$ 使得：

$$
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
$$

则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值，$\mathbf{v}$ 为对应的特征向量。

$$ A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$

说明：当矩阵 $A$ 作用于向量 $\mathbf{v}$ 上时，$\mathbf{v}$ 仅仅被缩放（即乘以特征值 $\lambda$），方向不变。

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1.3 奇异值分解（SVD）

任意矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 可分解为：

$$
A = U \Sigma V^T
$$

其中：

• $U \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 是正交矩阵，
• $V \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正交矩阵，
• $\Sigma$ 是对角矩阵，包含奇异值 $\sigma_i$。

$$ A = U \Sigma V^T $$

说明：奇异值分解（SVD）是一种强大的矩阵分解方法，广泛用于降维、压缩、信号处理等。

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🎲 2. 概率统计

2.1 贝叶斯定理

对于事件 $A$ 和 $B$，如果 $P(B) > 0$，则贝叶斯定理表示为：

$$
P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}
$$

$$ P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)} $$

说明：贝叶斯定理是概率论中最重要的公式之一，广泛用于机器学习、医学诊断、自然语言处理等领域。

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2.2 期望与方差

2.2.1 期望

设随机变量 $X$ 服从概率分布 $P(X)$，则：

$$
\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x P(X = x)
$$

$$ \mathbb{E}[X] = \sum_{x} x P(X = x) $$

说明：数学期望表示随机变量 $X$ 的加权平均值，即它的平均趋势。

2.2.2 方差

随机变量 $X$ 的方差定义为：

$$
\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]
$$

$$ \mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] $$

说明：方差度量了随机变量 $X$ 偏离均值的程度，方差越大，数据的离散性越强。

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2.3 高斯分布（正态分布）

随机变量 $X$ 服从均值 $\mu$，方差 $\sigma^2$ 的高斯分布（正态分布），其概率密度函数（PDF）为：

$$
p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)
$$

$$ p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) $$

说明：高斯分布是最重要的概率分布之一，在自然科学、工程、机器学习等领域中应用广泛。

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🤖 3. 机器学习

3.1 线性回归模型

在线性回归模型中，如果试图找到一个线性函数来拟合数据点 $(x_i, y_i)$，那么数学表达式如下：

$$
y = w^T x + b
$$

$$ y = w^T x + b $$

使用最小二乘法（OLS）来估计参数 $w$，会用到最小化均方误差（MSE）：

$$
L(w, b) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - (w^T x_i + b))^2
$$

$$ L(w, b) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - (w^T x_i + b))^2 $$

说明：线性回归是机器学习最基础的回归模型，在统计建模、预测分析等领域广泛应用。

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3.2 Kullback-Leibler (KL) 散度

KL 散度用于衡量两个概率分布 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 之间的差异，定义如下：

$$
D_{KL}(P \parallel Q) = \sum_x P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)}
$$

$$ D_{KL}(P \parallel Q) = \sum_x P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)} $$

或者对于连续概率分布：

$$
D_{KL}(P \parallel Q) = \int P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)} dx
$$

$$ D_{KL}(P \parallel Q) = \int P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)} dx $$

说明：KL 散度用于衡量两个概率分布之间的相对熵，在信息论、概率统计、机器学习等领域中应用广泛。