forallx-do-sol-interpretations.tex

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%\label{ch.semantics}
%\addtocontents{toc}{\protect\mbox{}\protect\hrulefill\par}

\stepcounter{chapter} % Extensionality

\chapter{Wahrheit in der LEO}\setcounter{ProbPart}{0}
\problempart
\label{pr.TorF1}
Betrachten Sie die folgende Interpretation:
\begin{ebullet}
	\item Domäne: Fatih und Benedikt
	\item `$\atom{A}{x}$' trifft auf Fatih und Benedikt zu
	\item `$\atom{B}{x}$' trifft nur auf Benedikt zu
	\item `$\atom{N}{x}$' trifft auf niemanden zu.
	\item `$f$' verweist auf Fatih
\end{ebullet}
Bestimmen Sie, ob die folgenden Sätze in dieser Interpretation wahr oder falsch sind.
\begin{earg}
\item $\atom{B}{c}$ \hfill \myanswer{Falsch}
\item $\atom{A}{c} \eiff \enot \atom{N}{c}$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\atom{N}{c} \eif (\atom{A}{c} \eor \atom{B}{c})$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\forall x\,\atom{A}{x}$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\forall x \enot \atom{B}{x}$ \hfill \myanswer{Falsch}
\item $\exists x(\atom{A}{x} \eand \atom{B}{x})$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\exists x(\atom{A}{x} \eif \atom{N}{x})$ \hfill \myanswer{Falsch}
\item $\forall x(\atom{N}{x} \eor \enot \atom{N}{x})$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\exists x\,\atom{B}{x} \eif \forall x\,\atom{A}{x}$ \hfill \myanswer{Wahr}
\end{earg}

\problempart
\label{pr.TorF2}
Betrachten Sie die folgende Interpretation:
\begin{ebullet}
	\item Domäne: Lemmy, Courtney und Eddy
	\item `$\atom{G}{x}$' trifft auf Lemmy, Courtney und Eddy zu.
	\item `$\atom{H}{x}$' trifft nur auf Courtney zu.
	\item `$\atom{M}{x}$' trifft nur auf Lemmy und Eddy zu.
	\item `$c$' verweist auf Courtney
	\item `$e$' verweist auf Eddy
\end{ebullet}
Bestimmen Sie, ob die folgenden Sätze in dieser Interpretation wahr oder falsch sind.
\begin{earg}
\item $\atom{H}{c}$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\atom{H}{e}$\hfill \myanswer{Falsch}
\item $\atom{M}{c} \eor \atom{M}{e}$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\atom{G}{c} \eor \enot \atom{G}{c}$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\atom{M}{c} \eif \atom{G}{c}$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\exists x\,\atom{H}{x}$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\forall x\,\atom{H}{x}$ \hfill \myanswer{Falsch}
\item $\exists x \enot \atom{M}{x}$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\exists x(\atom{H}{x} \eand \atom{G}{x})$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\exists x(\atom{M}{x} \eand \atom{G}{x})$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\forall x(\atom{H}{x} \eor \atom{M}{x})$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\exists x\,\atom{H}{x} \eand \exists x\,\atom{M}{x}$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\forall x(\atom{H}{x} \eiff \enot \atom{M}{x})$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\exists x\,\atom{G}{x} \eand \exists x \enot \atom{G}{x}$ \hfill \myanswer{Falsch}
\item $\forall x\exists y(\atom{G}{x} \eand \atom{H}{y})$ \hfill \myanswer{Wahr}
\end{earg}

\problempart
\label{pr.TorF3}
Betrachten Sie die folgende diagrammatisch dargestellte Interpretation:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (atom1) at (0,2) {1};
\node (atom2) at (2,2) {2};
\node (atom4) at (0,0) {3};
\node (atom5) at (2,0) {4};
\node (atom6) at (4,0) {5};
\draw[->, thick] (atom1)+(-0.15,0.15) arc (-330:-30:.3); 
\draw[->, thick] (atom6)+(0.15,-0.15) arc (-150:150:.3); 
\draw[->, thick] (atom1) -- (atom2);
\draw[->, thick] (atom1) -- (atom4);
\draw[<->, thick] (atom1) -- (atom5);
\draw[->, thick] (atom1) -- (atom6);
\draw[->, thick] (atom2) -- (atom6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
($\atom{R}{x,y}$ trifft auf $x$ und $y$ (in dieser Reihenfolge) zu genau dann, wenn ein Pfeil von x auf y zeigt.) Bestimmen Sie, ob die folgenden Sätze in dieser Interpretation wahr oder falsch sind.
\begin{earg}
\item $\exists x\,\atom{R}{x,x}$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\forall x\,\atom{R}{x,x}$ \hfill \myanswer{Falsch}
\item $\exists x \forall y\,\atom{R}{x,y}$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\exists x \forall y\,\atom{R}{y,x}$ \hfill \myanswer{Falsch}
\item $\forall x \forall y \forall z ((\atom{R}{x,y} \eand \atom{R}{y,z}) \eif \atom{R}{x,z})$ \hfill \myanswer{Falsch}
\item $\forall x \forall y \forall z ((\atom{R}{x,y} \eand \atom{R}{x,z}) \eif \atom{R}{y,z})$ \hfill \myanswer{Falsch}
\item $\exists x \forall y \enot \atom{R}{x,y}$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\forall x(\exists y\,\atom{R}{x,y} \eif \exists y\,\atom{R}{y,x})$ \hfill \myanswer{Falsch}
\item $\exists x \exists y (\enot x = y \eand \atom{R}{x,y} \eand \atom{R}{y,x})$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\exists x \forall y(\atom{R}{x,y} \eiff x = y)$ \hfill \myanswer{Wahr}
\item $\exists x \forall y(\atom{R}{y,x} \eiff x = y)$ \hfill \myanswer{Falsch}
\item $\exists x \exists y(\enot x = y \eand \atom{R}{x,y} \eand \forall z(\atom{R}{z,x} \eiff y = z))$ \hfill \myanswer{Wahr}
\end{earg}

\stepcounter{chapter} % Semantische Begriffe

\chapter{Interpretationen nutzen}\setcounter{ProbPart}{0}

\problempart
\label{pr.Contingent}
Zeigen Sie, dass die folgenden Sätze weder Tautologien noch Widersprüche sind:
\begin{earg}
\item $\atom{D}{a} \eand \atom{D}{b}$

\myanswer{Der Satz ist in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Stan
		\item[D(x)] Stan
		\item[a] Stan
		\item[b] Stan
	\end{ekey}
Und in dieser Interpretation falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Stan
		\item[D(x)]
		\item[a] Stan
		\item[b] Stan
\end{ekey}}

\item $\exists x\,\atom{T}{x,h}$

\myanswer{Der Satz ist in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Stan
		\item[T(x,y)] \ntuple{Stan, Stan}
		\item[h] Stan
	\end{ekey}
	Und in dieser Interpretation falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Stan
		\item[T(x,y)]
		\item[h] Stan
\end{ekey}}

\item $\atom{P}{m} \eand \enot\forall x\,\atom{P}{x}$

\myanswer{Der Satz ist in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Stan, Ollie
		\item[P(x)] Stan
		\item[m] Stan
	\end{ekey}
Und in dieser Interpretation falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Stan
		\item[P(x)]
		\item[m] Stan
\end{ekey}}

\item $\forall z\, \atom{J}{z} \eiff \exists y\,\atom{J}{y}$

\myanswer{Der Satz ist in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Stan
		\item[J(x)] Stan
	\end{ekey}
	Und in dieser Interpretation falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Stan, Ollie
		\item[J(x)] Stan
\end{ekey}}

\item $\forall x (\atom{W}{x,m,n} \eor \exists y\atom{L}{x,y})$

\myanswer{Der Satz ist in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] 1
		\item[W(x, y, z)] \ntuple{1, 1, 1}
		\item[L(x, y)] 
		\item[m] 1
		\item[n] 1
	\end{ekey}
	Und in dieser Interpretation falsch:
	\begin{ekey}
	\item[\text{Domäne}] 1
	\item[W(x, y, z)] 
	\item[L(x, y)] 
	\item[m] 1
	\item[n] 1
\end{ekey}}

\item $\exists x (\atom{G}{x} \eif \forall y\,\atom{M}{y})$

\myanswer{Der Satz ist in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Stan
		\item[G(x)]
		\item[M(x)]
	\end{ekey}
	Und in dieser Interpretation falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Stan
		\item[G(x)] Stan
		\item[M(x)]
\end{ekey}}

\item $\exists x (x = h \eand x = i)$

\myanswer{Der Satz ist in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Stan
		\item[h] Stan
		\item[i] Stan
	\end{ekey}
	Und in dieser Interpretation falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Stan, Ollie
		\item[h] Stan
		\item[i] Ollie
\end{ekey}}
\end{earg}

\problempart
\label{pr.NotEquiv}
Zeigen Sie, dass die folgenden Satzpaare nicht äquivalent sind:
\begin{earg}
\item $\atom{J}{a}$, $\atom{K}{a}$

\myanswer{Erster Satz wahr, zweiter Satz falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] $0$
		\item[J(x)] $0$
		\item[K(x)]
		\item[a] $0$
\end{ekey}}

\item $\exists x\,\atom{J}{x}$, $\atom{J}{m}$

\myanswer{Erster Satz wahr, zweiter Satz falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] $0$, $1$
		\item[J(x)] $0$
		\item[m] $1$
\end{ekey}}

\item $\forall x\,\atom{R}{x,x}$, $\exists x\,\atom{R}{x,x}$

\myanswer{Erster Satz wahr, zweiter Satz falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] $0$, $1$
		\item[R(x,y)] \ntuple{$0$,$0$}
\end{ekey}}

\item $\exists x\,\atom{P}{x} \eif \atom{Q}{c}$, $\exists x (\atom{P}{x} \eif \atom{Q}{c})$

\myanswer{Erster Satz wahr, zweiter Satz falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] $0$, $1$
		\item[P(x)] $0$
		\item[Q(x)] 
		\item[c] $0$
\end{ekey}}

\item $\forall x(\atom{P}{x} \eif \enot \atom{Q}{x})$, $\exists x(\atom{P}{x} \eand \enot \atom{Q}{x})$

\myanswer{Erster Satz wahr, zweiter Satz falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] $0$
		\item[P(x)]
		\item[Q(x)]
\end{ekey}}

\item $\exists x(\atom{P}{x} \eand \atom{Q}{x})$, $\exists x(\atom{P}{x} \eif \atom{Q}{x})$

\myanswer{Erster Satz wahr, zweiter Satz falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] $0$
		\item[P(x)]
		\item[Q(x)] $0$
\end{ekey}}

\item $\forall x(\atom{P}{x}\eif \atom{Q}{x})$, $\forall x(\atom{P}{x} \eand \atom{Q}{x})$

\myanswer{Erster Satz wahr, zweiter Satz falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{domain}] $0$
		\item[P(x)]
		\item[Q(x)] $0$
\end{ekey}}

\item $\forall x\exists y\,\atom{R}{x,y}$, $\exists x\forall y\,\atom{R}{x,y}$

\myanswer{Erster Satz wahr, zweiter Satz falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] $0$, $1$
		\item[R(x,y)] \ntuple{$0$, $1$}, \ntuple{$1$, $0$}
\end{ekey}}

\item $\forall x\exists y\,\atom{R}{x,y}$, $\forall x\exists y\,\atom{R}{y,x}$

\myanswer{Erster Satz wahr, zweiter Satz falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{domain}] $0$, $1$
		\item[R(x,y)] \ntuple{$0$, $0$}, \ntuple{$0$, $1$}
\end{ekey}}
\end{earg}


\problempart
Zeigen Sie, dass die folgenden Sätze konsistent sind:
\begin{earg}
\item $\atom{M}{a}, \enot \atom{N}{a}, Pa, \enot \atom{Q}{a}$

\myanswer{Alle Sätze sind in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry
		\item[M(x)] Harry
		\item[N(x)] 
		\item[P(x)] Harry
		\item[Q(x)]
		\item[a] Harry
\end{ekey}}

\item $\atom{L}{e,e}, \atom{L}{e,g}, \enot \atom{L}{g,e}, \enot \atom{L}{g,g}$

\myanswer{Alle Sätze sind in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry, Sally
		\item[L(x,y)]\ntuple{Harry, Harry}, \ntuple{Harry, Sally}
		\item[e] Harry
		\item[g] Sally
\end{ekey}}

\item $\enot (\atom{M}{a} \eand \exists x\,\atom{A}{x}), M(a) \eor \atom{F}{a}, \forall x(\atom{F}{x} \eif \atom{A}{x})$

\myanswer{Alle Sätze sind in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry
		\item[M(x)]
		\item[A(x)] Harry
		\item[F(x)] Harry
		\item[a] Harry
\end{ekey}}

\item $\atom{M}{a} \eor \atom{M}{b}, \atom{M}{a} \eif \forall x \enot \atom{M}{x}$

\myanswer{Alle Sätze sind in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry, Sally
		\item[M(x)] Sally
		\item[a] Harry
		\item[b] Sally
\end{ekey}}

\item $\forall y\,\atom{G}{y}, \forall x (\atom{G}{x} \eif \atom{H}{x}), \exists y \enot \atom{I}{y}$

\myanswer{Alle Sätze sind in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry
		\item[G(x)] Harry
		\item[H(x)] Harry
		\item[I(x)] 
\end{ekey}}

\item $\exists x(\atom{B}{x} \eor \atom{A}{x}), \forall x \enot \atom{C}{x}, \forall x\bigl[(\atom{A}{x} \eand \atom{B}{x}) \eif Cx\bigr]$

\myanswer{Alle Sätze sind in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry
		\item[A(x)] Harry
		\item[B(x)]
		\item[C(x)] 
\end{ekey}}

\item $\exists x\,\atom{X}{x}, \exists x\,\atom{Y}{x}, \forall x(\atom{X}{x} \eiff \enot \atom{Y}{x})$

\myanswer{Alle Sätze sind in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry, Sally
		\item[X(x)] Harry
		\item[Y(x)] Sally
\end{ekey}}

\item $\forall x(\atom{P}{x} \eor \atom{Q}{x}), \exists x\enot(\atom{Q}{x} \eand \atom{P}{x})$

\myanswer{Alle Sätze sind in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry
		\item[P(x)] Harry
		\item[Q(x)]
\end{ekey}}

\item $\exists z(\atom{N}{z} \eand \atom{O}{z,z}), \forall x\forall y(\atom{O}{x,y} \eif \atom{O}{y,x})$

\myanswer{Alle Sätze sind in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry
		\item[N(x)] Harry
		\item[O(x, y)] \ntuple{Harry, Harry}
\end{ekey}}

\item $\enot \exists x \forall y\,\atom{R}{x,y}, \forall x \exists y\,\atom{R}{x,y}$

\myanswer{Beide Sätze sind in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry, Sally
		\item[R(x, y)] \ntuple{Harry, Sally}, \ntuple{Sally, Harry}
\end{ekey}}

\item $\enot \atom{R}{a,a}$, $\forall x (x=a \eor \atom{R}{x,a})$

\myanswer{Beide Sätze sind in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry, Sally
		\item[R(x,y)]\ntuple{Sally, Harry}
		\item[a] Harry
\end{ekey}}

\item $\forall x\forall y\forall z[(x=y \eor y=z )\eor x=z]$, $\exists x\exists y\ \enot x= y$

\myanswer{Da die Sätze keine Prädikate oder Namen beinhaltet, müssen wir nur eine Domäne angeben. Jede Domäne mit 2 Elementen reicht aus.}

\item $\exists x\exists y((\atom{Z}{x} \eand \atom{Z}{y}) \eand x=y)$, $\enot \atom{Z}{d}$, $d=e$

\myanswer{Beide Sätze sind in dieser Interpretation wahr:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry, Sally
		\item[Z(x)] Harry
		\item[d] Sally
		\item[e] Sally
\end{ekey}}

\end{earg}

\problempart
Zeigen Sie, dass die folgenden Argumente ungültig sind:
\begin{earg}
\item $\forall x(\atom{A}{x} \eif \atom{B}{x}) \therefore \exists x\,\atom{B}{x}$

\myanswer{In dieser Interpretation ist Prämisse wahr, Schlussfolgerung falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry
		\item[A(x)] 
		\item[B(x)]
\end{ekey}}

\item $\forall x(\atom{R}{x} \eif \atom{D}{x}), \forall x(\atom{R}{x} \eif \atom{F}{x}) \therefore \exists x(\atom{D}{x} \eand \atom{F}{x})$

\myanswer{In dieser Interpretation sind Prämissen wahr, Schlussfolgerung falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry
		\item[R(x)] 
		\item[D(x)]
		\item[F(x)]
\end{ekey}}

\item $\exists x(\atom{P}{x}\eif \atom{Q}{x}) \therefore \exists x\,\atom{P}{x}$

\myanswer{In dieser Interpretation ist Prämisse wahr, Schlussfolgerung falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry
		\item[P(x)] 
		\item[Q(x)]
\end{ekey}}

\item $\atom{N}{a} \eand \atom{N}{b} \eand \atom{N}{c} \therefore \forall x\,\atom{N}{x}$

\myanswer{In dieser Interpretation ist Prämisse wahr, Schlussfolgerung falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry, Sally
		\item[N(x)] Harry
		\item[a] Harry
		\item[b] Harry
		\item[c] Harry
\end{ekey}}

\item $\atom{R}{d,e}, \exists x\,\atom{R}{x,d} \therefore \atom{R}{e,d}$

\myanswer{In dieser Interpretation sind Prämissen wahr, Schlussfolgerung falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry, Sally
		\item[R(x, y)] \ntuple{Harry, Harry}, \ntuple{Harry, Sally}
		\item[d] Harry
		\item[e] Sally
\end{ekey}}

\item $\exists x(\atom{E}{x} \eand \atom{F}{x}), \exists x\,\atom{F}{x} \eif \exists x\,\atom{G}{x} \therefore \exists x(\atom{E}{x} \eand \atom{G}{x})$

\myanswer{In dieser Interpretation sind Prämissen wahr, Schlussfolgerung falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry, Sally
		\item[E(x)] Harry
		\item[F(x)] Harry
		\item[G(x)] Sally
\end{ekey}}

\item $\forall x\,\atom{O}{x,c}, \forall x\,\atom{O}{c,x} \therefore \forall x\,\atom{O}{x,x}$

\myanswer{In dieser Interpretation sind Prämissen wahr, Schlussfolgerung falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry, Sally
		\item[O(x, y)] \ntuple{Harry, Sally}, \ntuple{Sally, Sally}, \ntuple{Sally, Harry}
		\item[c] Sally
\end{ekey}}

\item $\exists x(\atom{J}{x} \eand \atom{K}{x}), \exists x \enot \atom{K}{x}, \exists x \enot \atom{J}{x} \therefore \exists x(\enot \atom{J}{x} \eand \enot \atom{K}{x})$

\myanswer{In dieser Interpretation sind Prämissen wahr, Schlussfolgerung falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry, Sally, Rally
		\item[J(x)] Harry, Rally
		\item[K(x)] Harry, Sally
\end{ekey}}

\item $\atom{L}{a,b} \eif \forall x\,\atom{L}{x,b}, \exists x\,\atom{L}{x,b} \therefore \atom{L}{b,b}$

\myanswer{In dieser Interpretation sind Prämissen wahr, Schlussfolgerung falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry, Sally
		\item[L(x, y)] \ntuple{Harry, Sally}
		\item[a] Sally
		\item[b] Sally	
\end{ekey}}

\item $\forall x(\atom{D}{x} \eif \exists y\,\atom{T}{y,x}) \therefore \exists y \exists z\ \enot y= z$

\myanswer{In dieser Interpretation sind Prämissen wahr, Schlussfolgerung falsch:
	\begin{ekey}
		\item[\text{Domäne}] Harry, Sally
		\item[T(x, y)]
		\item[D(x)] 
	\end{ekey}}

\end{earg}

\stepcounter{chapter} % Über alle Interpretationen nachdenken