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\chapter{BWL: Asset Pricing}

Zusammenfassung der Vorlesung "`Asset Pricing"' aus dem Sommersemester 2017.\footnote{\url{https://derivate.fbv.kit.edu/942.php}}



\section{Einführung}
\begin{itemize}
	\item \textbf{Kovarianz zweier Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\)}
	\begin{description}
		\item[Kovarianz ist positiv:] Monotoner Zusammenhang \(\rightarrow\) Werte von \(X\) und \(Y\) sind entweder beide hoch oder beide niedrig
		\item[Kovarianz ist negativ:] Gegensinniger monotoner Zusammenhang \(\rightarrow\) Wert von \(X\) ist hoch, Wert von \(Y\) ist niedrig (und umgekehrt)
		\item[Kovarianz ist Null:] Kein monotoner Zusammenhang
	\end{description}
\end{itemize}



\section{Stochastischer Diskont-Faktor Ansatz}
\begin{itemize}
	\item SDF ist zufällig und für alle Assets identisch
	\item Häufig als \textit{reale} Größe modelliert, da Konsum üblicherweise als \textit{reale} Größe gemessen wird
	\item In schlechten Zuständen hoch, da eine Zahlung dann besonders wertvoll ist
\end{itemize}

\subsection{Powernutzenfunktion}
\begin{itemize}
	\item \textbf{Anforderungen}
	\begin{itemize}
		\item Positiver Grenznutzen: \(u^\prime(c)>0\); "`mehr ist besser als weniger"' (nicht-gesättigter Investor)
		\item Abnehmender Grenznutzen: \(u^{\prime\prime}(c)<0\); je höher der Konsum, desto geringer ist der weitere Nutzenzuwachs
	\end{itemize}
	\item \textbf{Interpretation von \(\gamma\) ("`Krümmungsparameter"')}
	\begin{description}
		\item[\(\gamma<0\):] Risikofreudig; kleineres \(\gamma\) bedeutet höhere Risikofreudigkeit
		\item[\(\gamma=0\):] Risikoneutral
		\item[\(\gamma>0\):] Risikoavers; höheres \(\gamma\) bedeutet höhere Risikoaversion und höhere Krümmung der Funktion \(\rightarrow\) höhere Risikovergütung gefordert (verdeutlicht durch die Krümmung)
	\end{description}
\end{itemize}

\subsection{Zentrale Bewertungsgleichung mit SDF}
\begin{itemize}
	\item Zentrale Bewertungsgleichung: \(p=\mathbb{E} \big\lbrack \beta \frac{u^\prime(c_{t+1})}{u^\prime(c_t)} \cdot x_{t+1} \big\rbrack\)
	\item \(m_{t+1} = \beta \cdot \frac{u^\prime(c_{t+1})}{u^\prime(c_t)}\) (SDF) vereinfacht die zentrale Bewertungsgleichung zu \(p=\mathbb{E} \big\lbrack m_{t+1} x_{t+1} \big\rbrack\)
\end{itemize}

\subsubsection{Beispiele für Preise und Zahlungen}
\begin{itemize}
	\item Aktieninvestment: Preis \(p_t\) setzt sich aus Preis \(p_{t+1}\) und Dividendenzahlung \(d_{t+1}\) zusammen (siehe \ref{eq:paktie})
	\item Brutto-Return: Berechnung des anteiligen "`Gewinnzuwachses"' im Erfolgsfall (siehe \ref{eq:br})
	\item Überschuss-Return: Zahlung eines Portfolios ohne Kapitaleinsatz mit \(p_t=0\) (siehe \ref{eq:uer})
	\item Einperiodige Anleihe: Anleihepreis in \(t\), Rückzahlung \(x_{t+1}=1\) (siehe \ref{eq:an})
	\item Geldmarktkonto: siehe \ref{eq:gmk}
	\item Kaufoption: siehe \ref{eq:ko}
\end{itemize}



\section{Klassische Theorien}

\subsection{Ökonomie der Zinsen}
\begin{itemize}
	\item Zentrale Bewertungsbeziehung für das Geldmarktkonto: \ref{eq:rf}
	\item \textbf{Erkenntnisse}
	\begin{itemize}
		\item Realzinsen sind hoch, wenn Investoren ungeduldig sind (niedriges \(\beta\)) oder wenn das Konsumwachstum hoch ist. Grafisch: Zinsen entsprechen der Steigung der Indifferenzkurve \(\rightarrow\) höheres Konsumverhalten \(\rightarrow\) höhere Steigung \(\rightarrow\) höhere Zinsen
		\item Realzinsen reagieren sensitiver bei hoher Risikoaversion (hohes \(\gamma\)) auf Änderungen des Konsumwachstums
		\item Konsumwachstum ist hoch, wenn die Zinsen hoch sind (bei hohen Zinsen wird mehr gespart)
		\item In unsicheren Zeiten wird mehr gespart \(\rightarrow\) niedrigere Zinsen ("`Precautionary Savings"')
	\end{itemize}
\end{itemize}


\subsection{Risikoanpassung}
\begin{itemize}
	\item \textbf{Preis ergibt sich aus:}
	\begin{itemize}
		\item Diskontierung des erwarteten Payoffs mit dem risikolosen Zinssatz. Kovarianz wird \(0\), wenn eine der Komponenten sicher und damit \(0\) ist
		\begin{description}
			\item[Sicherheit:] \(x\) ist konstant
			\item[Risikoneutralität:] \(m\) ist konstant
		\end{description}
		\item Risikokorrektur über Kovarianzterm: Je stärker Kovarianz mit SDF, desto höher der Preis
	\end{itemize}
	\item Für Assets, die mehr zur Konsumglättung beitragen, werden höhere Preise bezahlt
	\item Preis wird nach oben korrigiert, falls Payoff in schlechten Zeiten hoch ist (Versicherungsidee)
	\item Wieso Kovarianz statt Varianz relevant? - Investor interessiert sich nicht für Volatilität eines einzelnen Papiers, sondern für den resultierenden Konsum
	\item Überrendite: Wertpapiere, deren Returns positiv mit Konsum variieren, führen zu volatilerem Konsum \(\rightarrow\) liefern höherere erwartete Returns (und umgekehrt)
	\item Beispiel Sicherheitsgedanke: "`Lieber im schlechten Fall mehr, als wenn ich ohnehin schon viel habe"' \(\rightarrow\) für Assets, die mehr zur Konsumglättung beitragen, werden höhere Preise bezahlt
\end{itemize}


\subsection{Unsystematisches Risiko}
\begin{itemize}
	\item Mit SDF unkorrelierte Zahlungen (\(Cov(m,x)=0\)) erfordern keine Risikokorrektur im Preis \(\rightarrow\) unsystematisches Risiko wird nicht vergütet
	\item Erwartete Rendite entspricht der risikolosen Rendite
\end{itemize}


\subsection{Beta als Risikomaß}
\begin{itemize}
	\item \(\beta_i\): Sensitivität der Rendite von Wertpapier \(i\) gegenüber der Marktrendite (siehe \ref{eq:beta})
	\item Klassisches (systematisches) Risikomaß der Finanzwertschaft, typischerweise anhand des CAPM bestimmt
\end{itemize}


\subsection{Der \(\mu\)-\(\sigma\)-Rand}
\begin{itemize}
	\item Alle erreichbaren Kombinationen liegen zwingend in kegelförmigen Bereich
	\item \textbf{Investments auf dem \(\mu\)-\(\sigma\)-Rand}
	\begin{description}
		\item[Oberer Rand:] Alle Investments, die perfekt negativ mit dem SDF korrelieren \(\rightarrow\) maximal riskant; höchste Rendite; maximale Konsumschwankung; maximale Sharpe-Ratio
		\item[Unterer Rand:] Bestmögliche Versicherung gegen Konsumschwankungen; perfekt positiv mit dem SDF korreliert \(\rightarrow\) zahlt Wert des SDF
	\end{description}
	\item Erwartete Rendite besteht aus \textit{risikoloser Rendite} \(R^f\) und \textit{Risikoprämie} \(\beta_{i,mv}\lambda\)
\end{itemize}


\subsection{Equity Premium Puzzle}
\begin{itemize}
	\item Übermäßig hoher Unterschied zwischen den Renditen von Wertpapieren mit hohen Risiken im Vergleich zu niedrigen
	\item Tatsächliche Unterschiede deutlich größer als durch theoretische Modelle vorausgesagt
	\item Verschiedene Erklärungsversuche: Aktienrenditen purer Zufall?; Investoren risikoaverser als angenommen?; Teile der Modelle falsch?
	\item Letzterer Gegenstand aktueller Forschung
\end{itemize}



\section{Contingent Claims}

\subsubsection{Wann sind Märkte vollständig?}
\begin{itemize}
	\item Anzahl zukünftiger Umweltzustände sind gleich der Dimension des Vektorraums
	\item Auszahlungsvektoren in den Umweltzuständen sind linear unabhängig
\end{itemize}

\subsubsection{Berechnen von Arrow-Debreu-Preisen}
\begin{enumerate}
	\item Aufteilung des Papiers in zwei Papiere, die jeweils in genau einem Zustand \(S\) eine Einheit auszahlen
	\item Berechnen von \(\Delta\) und \(k\) (siehe \ref{eq:adp1} und \ref{eq:adp2})
	\item Arbitrage-Tableau für \(S_u = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\): Verkauf von \(\Delta\) Einheiten \(WP_1\); Kauf entsprechender Anzahl Bonds; Preis des Arrow-Debreu-Papiers aus dieser Differenz berechenbar
	\item Arbitrage-Tableau für \(S_d = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\): Kauf von \(\Delta\) Einheiten \(WP_2\); Verkauf entsprechender Anzahl Bonds; Preis des Arrow-Debreu-Papiers aus dieser Differenz berechenbar
	\item Berechnung von \(m_u\) und \(m_d\) (siehe \ref{eq:adpm})
\end{enumerate}


\subsection{Diskontfaktor im vollständigen Markt}
\begin{itemize}
	\item Heutiger Preis \(p\) setzt sich aus Wert der einzelnen Contingent Claims zusammen
\end{itemize}


\subsection{Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten}
\begin{itemize}
	\item Der Wert eines Derivats in der realen Welt, in der Anwender sich nicht risikoneutral verhalten, muss identisch sein zum Wert des gleichen Derivats in einer hypothetischen, risikoneutralen Welt\footnote{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Risikoneutrale_Bewertung}} \(\rightarrow\) Bewertung erfolgt als wären Akteure risikoneutral
	\item Zukünftige Zahlungen müssen nur noch mit risikolosem Zinssatz diskontiert werden (siehe \ref{eq:prn})
	\item Zustände mit überdurchschnittlich hohem Grenznutzen werden stärker gewichtet
	\item Bei Risikoaversion werden "`schlechte"' Zustände stärker gewichtet
	\item Anwendung Derivatebewertung: Unterstelle Verteilung für Underlying und bestimme im aktuellen Underlying-Preis implizite risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten
	\item Interpretation im gesamtökonomischen Kontext: Bei \(\pi^*_i < \pi_i\) handelt es sich um einen ökonomisch guten Zustand, da die risikoneutrale Eintrittswahrscheinlichkeit nach unten korrigiert ist
\end{itemize}



\section{Faktormodelle}

\subsection{Grundidee der Faktormodelle}
\begin{itemize}
	\item Ersetze konsumbasierten Ausdruck für Grenznutzen durch lineares Faktormodell (siehe \ref{eq:lfm})
	\item \textbf{Zentrale Frage: Wie soll \(f_{t+1}\) gewählt werden?}
	\begin{itemize}
		\item Faktoren sollen gute/schlechte Zustände der Ökonomie anzeigen bzw. eine gute Näherung mit dem Konsumwachstum liefern (siehe \ref{eq:lff})
		\item Prognosegehalt
		\item Veränderungen und keine Levels
		\item Gute Datenverfügbarkeit
	\end{itemize}
	\item Unternehmensspezifische Charakteristika können \textit{nie} als Faktor verwendet werden, da sonst durch die Differenz von gebündelten Papieren und einzelnen Papieren des Unternehmens ein Arbitrage-Gewinn möglich wäre
	\item \textbf{Grundsätzliches Vorgehen zur Berechnung der erwarteten Rendite}
	\begin{itemize}
		\item Berechnung der Risikoexposition mittels Zeitreihendaten
		\item Berechnung der Risikoprämien durch Querschnittsregression
	\end{itemize}
\end{itemize}


\subsection{Capital Asset Pricing Modell}
\begin{itemize}
	\item Berühmtes, weit verbreitetes Gleichgewichtsmodell
	\item Diskontfaktor wird an Return des Marktportfolios geknüpft (siehe)
\end{itemize}


\subsection{Arbitragepreistheorie}
\begin{itemize}
	\item Aus dem CAPM entwickelt, fordert allerdings kein Marktgleichgewicht sondern lediglich Arbitragefreiheit
	\item Besteht aus Faktoren, denen jeweils Risikoprämien zugeordnet werden (siehe \ref{eq:apt})
	\item Betrachtet idosynkratisches Risiko als nicht bewertungsrelevant
\end{itemize}

\subsection{Fama-French-Dreifaktorenmodell}
\begin{itemize}
	\item Erweitert CAPM um zwei weitere Faktoren, um die Rendite eines Papiers mit der Marktrendite zu erklären
	\item Long und Short in ähnlichen Firmen \(\rightarrow\) keine Risikoexposition gegenüber Markt \(\rightarrow\) reine \(\alpha\)-Strategie (möglichst niedrig zu wählen)
	\item \textbf{\textit{high (Buch-Marktwert-Verhältnis) minus low} (HML)}
	\begin{itemize}
		\item Renditedifferenz zwischen Value- und Growthaktien
		\item Renditedifferenz zwischen Aktien mit hohem und niedrigem \textit{Buchwert-zu-Marktwert-Verhältnis}
		\item Interpretation
		\begin{description}
			\item[Hoch:] Asset-lastige Industrie
			\item[Niedrig:] Hohes Wachstumspotential
		\end{description}
	\end{itemize}
	\item \textbf{\textit{small (Marktkapitalisierung) minus big} (SMB)}
	\begin{itemize}
		\item Renditedifferenz zwischen kleinen und großen Aktien
		\item Renditedifferenz von Aktien mit geringem und hohem Marktwert des Eigenkapitals
		\item Interpretation
		\begin{description}
			\item[Hoch:] Junge Unternehmen; Nischenmarkt
			\item[Niedrig:]
		\end{description}
	\end{itemize}
\end{itemize}
\newpage


\section{Appendix A: Formelsammlung}

\subsection{Grundlagen}

\subsubsection{Erwartete Rendite}
\begin{equation}
	\mathbb{E} \big\lbrack R \big\rbrack = \frac{\mathbb{E} \big\lbrack x \big\rbrack}{p} = \frac{\mathbb{E} \big\lbrack x \big\rbrack}{\mathbb{E} \big\lbrack mx \big\rbrack}
\end{equation}

\subsubsection{Varianz}
\begin{equation}
	Var(m) = \pi_u \Big(m_u - \mathbb{E} \big\lbrack m_u \big\rbrack\Big)^2 + \pi_d \Big(m_d - \mathbb{E} \big\lbrack m_d \big\rbrack\Big)^2 = \mathbb{E} \big\lbrack x^2 \big\rbrack - \Big( \mathbb{E} \big\lbrack x \big\rbrack \Big)^2
\end{equation}

\subsubsection{Kovarianz}
\begin{equation}
	Cov\big(m,x\big) = \mathbb{E} \big\lbrack m x \big\rbrack - \mathbb{E} \big\lbrack m \big\rbrack \cdot \mathbb{E} \big\lbrack x \big\rbrack
\end{equation}

\subsubsection{Standardabweichung \(\sigma\)}
\begin{equation}
	\sigma = \sqrt{Var}
\end{equation}

\subsubsection{Korrelation}
\begin{equation}
	\rho_{x,y} = \frac{Cov(x,y)}{\sqrt{Var(x) \cdot Var(y)}} = \frac{Cov(x,y)}{\sigma_x \cdot \sigma_y}
\end{equation}

\subsubsection{Ökonomie charakterisieren}
\begin{equation}
	\frac{\mathbb{E} \big\lbrack x \big\rbrack}{R^f} < p \Rightarrow oberer~Zustant~der~bessere
\end{equation}
\begin{equation}
	\frac{\mathbb{E} \big\lbrack x \big\rbrack}{R^f} > p \Rightarrow unterer~Zustant~der~bessere
\end{equation}


\subsection{Stochastischer Diskontfaktor (Grenzrate der Substitution)}
\begin{equation}
	m_{t_1,t_2} = \beta^{t_2 - t_1} \cdot \frac{u^\prime(c_{t_2})}{u^\prime(c_{t_1})} = \beta^{t_2 - t_1} \cdot \bigg(\frac{c_{t_2}}{c_{t_1}}\bigg)^{-\gamma} \label{eq:m}
\end{equation}

\subsubsection{Preis}
\begin{equation}
	p = \sum^n_1 \mathbb{E} \big\lbrack m_{0,i} x_i \big\rbrack = \mathbb{E} \big\lbrack m \big\rbrack \cdot \mathbb{E} \big\lbrack x \big\rbrack + Cov\big(m,x\big) = \frac{\mathbb{E} \big\lbrack x \big\rbrack}{R^f} + Cov\big(m,x\big) \label{eq:p}
\end{equation}
\paragraph{Für \(n=1\)}
\begin{equation}
	p = \sum^1_1 \mathbb{E} \big\lbrack m x \big\rbrack = \pi_u \cdot m_u \cdot x_u + \pi_d \cdot m_d \cdot x_d
\end{equation}

\subsubsection{Aktieninvestment}
\begin{equation}
	p_t = \mathbb{E} \big\lbrack m \cdot (p_{t+1} + d_{t+1}) \big\rbrack \label{eq:paktie}
\end{equation}

\subsubsection{Brutto-Return}
\begin{equation}
	1 = \mathbb{E} \big\lbrack m \cdot R \big\rbrack \Leftrightarrow R = \frac{\mathbb{E} \big\lbrack x \big\rbrack}{p} \label{eq:br}
\end{equation}

\subsubsection{Effektiver Zinssatz (Bruttorendite, in Zuständen in denen das Papier auszahlt}
\begin{equation}
	R^{eff} = \frac{\mathbb{E} \big\lbrack x \big\rbrack}{p}
\end{equation}

\subsubsection{Überschuss-Return}
\begin{equation}
	0 = \mathbb{E} \big\lbrack m \cdot (R_a - R_b) \big\rbrack \label{eq:uer}
\end{equation}

\subsubsection{Einperiodige Anleihe}
\begin{equation}
	p_t = \mathbb{E} \big\lbrack m \big\rbrack \label{eq:an}
\end{equation}

\subsubsection{Geldmarktkonto}
\begin{equation}
	1 = \mathbb{E} \big\lbrack m \cdot R^f \big\rbrack \label{eq:gmk}
\end{equation}

\subsubsection{Kaufoption}
\begin{equation}
	p_t = \mathbb{E} \big\lbrack m \cdot (max(S-K,0)) \big\rbrack \label{eq:ko}
\end{equation}

\subsubsection{Risikoloser Zinssatz}
\begin{equation}
	\mathbb{E} \big\lbrack m \big\rbrack = \pi_u \cdot m_u + \pi_d \cdot m_d = \frac{1}{R^f} \label{eq:E}
\end{equation}
\begin{equation}
	R^f_{t_1, t_2} = \frac{1}{\mathbb{E} \big\lbrack m_{t_1,t_2} \big\rbrack} = \frac{1}{\beta^{t_2-t_1}} \cdot \mathbb{E} \Bigg\lbrack \frac{u^\prime(c_{t_2})}{u^\prime(c_{t_1})} \Bigg\rbrack^{-1} = \frac{1}{\beta^{t_2-t_1}} \cdot \mathbb{E} \Bigg\lbrack \bigg( \frac{c_{t_2}}{c_{t_1}} \bigg)^{-\gamma} \Bigg\rbrack^{-1} \label{eq:rf}
\end{equation}


\subsection{Beta als Risikomaß}

\subsubsection{Risikomenge}
\begin{equation}
	\beta_{i,m} = \frac{Cov(m,R_i)}{Var(m)}\label{eq:beta}
\end{equation}

\subsubsection{Preis des Risikos}
\begin{equation}
	\lambda_m = - \frac{Var(m)}{\mathbb{E} \big\lbrack m \big\rbrack}
\end{equation}


\subsection{Equity Premium Puzzle}

\subsubsection{Sharpe-Ratio}
\begin{equation}
	SR = \frac{\mathbb{E} \big\lbrack R^i \big\rbrack - R^f}{\sigma \big\lbrack R^i \big\rbrack}
\end{equation}

\subsubsection{Maximale Sharpe-Ratio (Steigung des oberen \(\mu\)-\(\sigma\)-Rands)}
\begin{equation}
	SR_{max} = \frac{\sqrt{Var \big( m \big)}}{\mathbb{E} \big\lbrack m \big\rbrack}
\end{equation}


\subsection{Contingent Claims}

\subsubsection{Arrow-Debreu-Preise}
\begin{equation}
	\Delta S_u + k \cdot 1 = 1 \label{eq:adp1}
\end{equation}
\begin{equation}
	\Delta S_d + k \cdot 1 = 0 \label{eq:adp2}
\end{equation}
\begin{equation}
	m(s) = \frac{pc(s)}{\pi(s)} \label{eq:adpm}
\end{equation}
\paragraph{Risikoloser Zinssatz}
\begin{equation}
	R^f = \frac{1}{\mathbb{E} \big\lbrack m \big\rbrack} = \frac{1}{pc(s_1) + \dots + pc(s_n)} = \frac{1}{\sum_s pc(s_i)}
\end{equation}
\paragraph{Heutiger Preis als Summe der Contingent Claims}
\begin{equation}
	p(s) = \sum pc(s)\cdot x(s)
\end{equation}

\subsubsection{Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten}
\begin{equation}
	\pi^*_u = \frac{m_u}{\mathbb{E} \big\lbrack m \big\rbrack} \cdot \pi_u = \frac{m_u}{m_u \cdot \pi_u + m_d + \pi_u} \cdot \pi_u
\end{equation}
\begin{equation}
	\pi^*_d = 1 - \pi^*_u
\end{equation}
\begin{equation}
	p^* = \frac{\mathbb{E}^* \big\lbrack x \big\rbrack}{R^f} = \frac{\pi^*_u \cdot x_u + \pi^*_d \cdot x_d}{R^f} \label{eq:prn}
\end{equation}

\subsubsection{Berechnung von Calls und Puts}
\paragraph{Call (\(S_d\) wird Null)}
\begin{equation}
	C_t = \frac{\pi^*_u \cdot \big( S_{u,t+1} - Ausuebungspreis \big)}{R^f}
\end{equation}
\paragraph{Call (\(S_u\) wird Null)}
\begin{equation}
	P_t = \frac{\pi^*_d \cdot \big( Ausuebungspreis - S_{d,t+1} \big)}{R^f}
\end{equation}


\subsection{Faktormodelle}

\subsubsection{Lineares Faktormodell}
\begin{equation}
	m_{t+1} = a + b^\prime f_{t+1} \label{eq:lfm}
\end{equation}
\begin{equation}
	\beta \cdot \frac{u^\prime(c_{t+1})}{u^\prime(c_t)} \approx a + b^\prime f_{t+1} \label{eq:lff}
\end{equation}

\subsubsection{Capital Asset Pricing Modell}
\begin{equation}
	\mathbb{E} \big\lbrack R^i \big\rbrack = R^f + \beta_{i,R^M} \cdot \big( \mathbb{E} \big\lbrack R^M \big\rbrack - R^f \big) \label{eq:capm}
\end{equation}
\paragraph{Diskontfaktor}
\begin{equation}
	m_{t+1} = a + b \cdot R^M_{t+1}
\end{equation}
\paragraph{Risikoloses Instrument}
\begin{equation}
	1 = \mathbb{E} \big\lbrack m \cdot R^f \big\rbrack
\end{equation}
\paragraph{Return des Marktportfolios}
\begin{equation}
	1 = \mathbb{E} \big\lbrack m \cdot R^M \big\rbrack
\end{equation}

\subsubsection{Abritragepreistheorie}
\begin{equation}
	\mathbb{E} \big\lbrack r \big\rbrack = R^f + \beta_1 \cdot \lambda_1 \dots \beta_n \cdot \lambda_n \label{eq:apt}
\end{equation}

\subsubsection{Fama-French-Dreifaktorenmodell}

\(\lambda_M\), \(\lambda_{SMB}\) und \(\lambda_{HML}\) bezeichnen individuelle Marktrisiokoprämien.
\begin{equation}
	r = R^f + \beta_M \cdot \lambda_M + \beta_{SMB} \cdot \lambda_{SMB} + \beta_{HML} \cdot \lambda_{HML} \label{eq:ff}
\end{equation}

\subsubsection{Berechnen der Marktrisikoprämien}
\begin{equation}
	\lambda_M = \mathbb{E} \big\lbrack R^M - R^f \big\rbrack = (Ueberrendite~des~Marktes) \cdot (Handelstage~pro~Jahr)
\end{equation}

\begin{equation}
	\lambda_{SMB} = \mathbb{E} \big\lbrack R^S - R^B \big\rbrack = (Durchschnittswerte) \cdot (Handelstage~pro~Jahr)
\end{equation}

\begin{equation}
	\lambda_{HML} = \mathbb{E} \big\lbrack R^H - R^L \big\rbrack = (Durchschnittswerte) \cdot (Handelstage~pro~Jahr)
\end{equation}