Fisher_Exact_Test_R.rmd

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title: "費雪精確檢定 (Fisher's Exact Test)"
author: "JianKai Wang (https://sophia.ddns.net/)"
date: "2018年4月12日"
output: html_document
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Fisher's exact test 為無母數用來檢定兩個類別變數是否存在關聯性，且資料樣本數較小(如 $< 5$)時；反之，若樣本數較多(如 $\geq 5$)時，應使用卡方檢定 (Chi-square test)。Fisher's exact test 的概念為透過計算所有可能組合來進行檢定，如下:

* 定義

| | Sample.1 | Sample.2 | Total |
|--|--|--|--|
| Category.1 | a=A | b | a + b |
| Category.2 | c | d | c + d |
| Total | a + c | b + d | a + b + c + d = n |

則由上的列連表，可以定義 Fisher's exact test 如下:

$$
p=\frac{\binom{a+b}{a}\binom{c+d}{c}}{\binom{n}{a+c}}=\frac{(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!}{(a!)(b!)(c!)(d!)(n!)}
$$

計算出來的 $p$ 值的意義為，若隨機猜測 n 筆資料而得出上列表的機率

* 檢定範例

$H_o$ 為女生與男生節食的比例相同，$H_a$ 為女生節食比例比男生高，資料如下:

| | Men | Women | Total |
|--|--|--|--|
| Dieting | 1 | 9 | 10 |
| Non-Dieting | 11 | 3 | 14 |
| Total | 12 | 12 | 24 |

可以根據上表中的資料算出**單邊檢定**的 $p$ 值如下 (**此時 $a \leq 1$ 表示 $a = 0$ 與 $a = 1$ 的機率相加**)

$$
P(a \leq 1|a+b=10, c+d=14, a+c=12, b+d=12) = \frac{\binom{a+b}{a}\binom{c+d}{c}}{\binom{n}{a+c}}\\
= \frac{\binom{10}{1}\binom{14}{11} + \binom{10}{0}\binom{14}{12}}{\binom{24}{12}} \approx 0.0014
$$

由上計算，假設 type I error 機率為 0.05，可根據上列 $p$ 值推論，上表中的資料提供證據拒絕 $H_0$，支持對立假設 $H_a$，說明女生節食比例比男生高。

## R 實作

可以於 R 內建的基礎套件 **stats** 中的函式 **fisher.test** 來進行檢定，如下:

```{r}
# 準備資料
rawdata <- matrix(
                c(1, 11, 9, 3), 
                nrow = 2, 
                dimnames = list(
                  behavior = c("Dieting", "Non-dieting"), 
                  sex = c("Men", "Women")
                )
            )
head(rawdata, 2)

# 計算單邊檢定 fisher's exact test 及取得 p.value
rawdata.fisher <- fisher.test(rawdata, alternative = "less")
summary(rawdata.fisher)

# 透過屬性 p.value 來取得 p 值
rawdata.fisher$p.value
```