数学建模知识汇总

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PART 1 Matlab基础

（一）变量

1.1 变量的命名规则

有效变量名称以字母开头，后跟字母、数字或下划线
有效变量不能出现标点符号和空格
Matlab变量对大小写敏感
变量名称的最大长度为 namelengthmax 命令返回的值（R2018a版本为63）
变量名不能为保留字

1.2 特殊变量

特殊变量	取值
ans	用于结果的缺省变量名
pi	圆周率$\pi$
eps	计算机的最小数，和1相加时产生一个比1大的数
flops	浮点运算数
Inf	无穷大，如$1/0$
NaN	不定量，如$0/0$
i, j	i=j=$\sqrt{-1}$

（二）数组

2.1 数组的生成

vector = [a,b,c] or [a b c] $\Rightarrow vector = \left[\begin{matrix}a & b & c\end{matrix}\right]$ （行向量）

vector = [a；b；c] $\Rightarrow vector = \left[\begin{matrix}a \ b \ c\end{matrix}\right]$ （列向量）

vector = 1:100 $\Rightarrow vector = \left[\begin{matrix}1&2&3&\cdots 100\end{matrix}\right]$ （默认步长为 $1$ 的长行向量）

vector = 1:2:100 $\Rightarrow vector = \left[\begin{matrix}1&3&5&\cdots 99\end{matrix}\right]$ （设置步长为 $2$ 的长行向量）

vector = 100:-1:1 $\Rightarrow vector = \left[\begin{matrix}100&99&98&\cdots 1\end{matrix}\right]$ （逆序输出长行向量）

vector = linspace(1,5,4) $\Rightarrow vector = \left[\begin{matrix}1.0000&2.3333&3.6667&5.0000\end{matrix}\right]$ （从 $1$ 到 $5$，总个数为 $4$ 的行向量）

（三）矩阵

3.1 矩阵的生成

matrix = [a,b,c;d,e,f] $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a&b&c\d&e&f\end{matrix}\right]$（矩形矩阵）

matrix = [] $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}\end{matrix}\right]$（空矩阵，大小为0）

matrix = diag([a,b,c,d,e,f]) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a&&&&&\&b&&&&\&&c&&&\&&&d&&\&&&&e&\&&&&&f\end{matrix}\right]$（对角矩阵）

matrix = zeros(a,b) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}0&0&\cdots&0\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\0&0&\cdots&0\end{matrix}\right]_{a\times b}$（全零矩阵）

matrix = ones(a,b) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}1&1&\cdots&1\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\1&1&\cdots&1\end{matrix}\right]_{a\times b}$（全1矩阵）

matrix = eye(a,b) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}1&0&\cdots&0\0&1&\cdots&0\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \0&0&\cdots&1 \end{matrix}\right]_{a\times b}$（单位矩阵，左对齐）

matrix = rand(a,b) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}random(0,1)&\cdots&random(0,1)\\vdots&\vdots&\vdots&\random(0,1)&\cdots&random(0,1)\end{matrix}\right]_{a\times b}$（$(0,1)$均匀随机数矩阵）

rand('seed',value) 可以保证每次生成相同的随机数矩阵

3.2 矩阵的形状

matrix = [a,b,c;d,e,f] matrix = matrix' $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a&d\b&e\c&f\end{matrix}\right]$ （矩阵转置）

matrix = [a,b,c;d,e,f] matrix = matrix(:) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a\d\b\e\c\f\end{matrix}\right]$ （矩阵变为列向量，列合并）

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix = reshape(matrix, 1, 9) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a&b&c&d&e&f&g&h&i\end{matrix}\right]$ （矩阵变为行向量，行合并）

reshape 函数的参数：reshape(待转换矩阵, 目标行数, 从待转换矩阵中攫取的元素个数)

3.3 矩阵的索引与切片

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix = matrix(3, :) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}g&h&i\end{matrix}\right]$ （取第 $i$ 行的行向量）

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix = matrix(:, 2) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}b\e\h\end{matrix}\right]$ （取第 $j$ 列的列向量）

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix = matrix(1: 2, :) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a&b&c\d&e&f\end{matrix}\right]$ （取第 $i1$ 行到第 $i2$ 行的行向量组成的矩阵）

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix = matrix(:, 1 : 2) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a&b\d&e\g&h\end{matrix}\right]$ （取第 $j1$ 列到第 $j2$ 列的列向量组成的矩阵）

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix = matrix([1,3], :) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a&b&c\g&h&i\end{matrix}\right]$ （取第 $i1$ 行和第 $i2$ 行的行向量组成的矩阵）

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix = matrix(:, [1,3]) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a&c\d&f\g&i\end{matrix}\right]$ （取第 $j1$ 列和第 $j2$ 列的列向量组成的矩阵）

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix = matrix(1:2, 1:2) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a&b\d&e\end{matrix}\right]$ （取第 $i1$ 行到第 $i2$ 行，第 $j1$ 列到第 $j2$ 列相交部分的矩阵）

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix = diag(matrix) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a\e\i\end{matrix}\right]$ （取对角线元素）

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix = diag(matrix,1) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}b\f\end{matrix}\right]$ （取第 $1$ 条对角线元素）

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix = diag(matrix,1) $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}d\h\end{matrix}\right]$ （取第 $-1$ 条对角线元素）

3.4 矩阵的拼接

a = [1,2,3] b = [-1,-2,-3] matrix = [a;b] $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}1&2&3\-1&-2&-3\end{matrix}\right]$ （列数相同矩阵，上下拼接）

a = [1,2;3,4;5,6] b = [-1;-2;-3] matrix = [b,a] $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}-1&1&2\-2&3&4\-3&5&6\end{matrix}\right]$ （行数相同矩阵，左右拼接）

3.5 矩阵的删除

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix(:, 3) = [] $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a&b\d&e\g&h\end{matrix}\right]$ （删除第 $3$ 列）

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix(2, :) = [] $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a&b&c\d&e&f\end{matrix}\right]$ （删除第 $2$ 行）

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix(6) = [] $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a&d&g&b&e&c&f&i\end{matrix}\right]$

（删除第 $6$ 个元素，从上至下，从左至右数第 $6$ 个元素 $h$，之后，$matrix$ 以一行行向量表示。

若以 $0$ 代替，则实际上做的并不是删除，而是用 $0$ 替换了原来的元素，意义不同）

matrix = [a,b,c;d,e,f;g,h,i] matrix(2，3) = 0 $\Rightarrow matrix = \left[\begin{matrix}a&b&c\d&e&f\g&0&i\end{matrix}\right]$ （$0$ 代替 $matrix(2,3)$ 的 $h$）

3.6 矩阵的运算

3.6.1 标量-矩阵运算

$a = \left[\begin{matrix}1&2\3&4\end{matrix}\right], b = \left[\begin{matrix}-1&2\-3&4\end{matrix}\right]$

ans = a .* 2$\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}2&4\6&8\end{matrix}\right]$（对应元素与标量相乘）

ans = a .^ 2$\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}1&4\9&16\end{matrix}\right]$（对应元素的标量次幂）

3.6.2 矩阵-矩阵计算

下面的 $a = \left[\begin{matrix}1&2\3&4\end{matrix}\right], b = \left[\begin{matrix}-1&2\-3&4\end{matrix}\right]$

ans = a .* b$\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}-1&4\-9&16\end{matrix}\right]$（对应元素相乘）

ans = a * b$\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}-1&4\-9&16\end{matrix}\right]$（矩阵乘法）

ans = a ./ b$\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}-1&1\-1&1\end{matrix}\right]$（对应元素相除）

ans = a / b$\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}5&-2\12&5\end{matrix}\right]$（矩阵右除）

ans = a \ b$\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}-1&0\0&1\end{matrix}\right]$（矩阵左除）

A/B表示A乘B的逆，若XB=A 则X = A/B = A * inv(B)

A\B表示A的逆乘B，若AX=B 则X = A\B = inv(A) * B

ans = a.^b$\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}1&4\0.037&256\end{matrix}\right]$（对应元素求幂）

ans = a^2$\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix} 7 & 10\15 & 22\end{matrix}\right]$（方阵乘幂）

3.6.3 统计函数

ans = sum(a) 或 ans = sum(a, 1)$\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}4 & 6\end{matrix}\right]$（按列计算和）

ans = sum(a, 2) $\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}3\7\end{matrix}\right]$（按行计算和）

ans = sum(sum(a)) $\Rightarrow ans = 10$（计算矩阵所有元素之和）

ans = cumsum(a) 或 ans = cumsum(a, 1) $\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}1&2\4&6\end{matrix}\right]$（按列由上至下，迭代计算从本数开始以上所有数的和）

ans = cumsum(a, 2) $\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}1&3\3&7\end{matrix}\right]$（按行由左至右，迭代计算从本数开始以左所有数的和）

下面的 $matrix = \left[\begin{matrix}4&8&6\1&2&9\7&5&3\end{matrix}\right]$。

ans = max(matrix) $\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}7&8&9\end{matrix}\right]$ （取每一列的最大元素）

ans = min(matrix) $\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}1&2&3\end{matrix}\right]$ （取每一列的最小元素）

[ans,line] = max(matrix) $\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}7&8&9\end{matrix}\right], line = \left[\begin{matrix}3&1&2\end{matrix}\right]$ （取每一列的最大元素及每个元素的所在行数）

[ans,line] = min(matrix) $\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}1&2&3\end{matrix}\right], line = \left[\begin{matrix}2&2&3\end{matrix}\right]$ （取每一列的最小元素及每个元素的所

在行数）

ans = min(min(matrix)) $\Rightarrow ans = 1$ （取矩阵最小元素）

[x, y] = find(matrix == min(min(matrix))) $\left{\begin{aligned}x = 2\y = 1\end{aligned}\right.$ （取矩阵最小元素位置）

3.6.4 矩阵的属性量

ans = inv(matrix) $\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}-0.1444&0.0222&0.0222\0.0222&-0.1111&-0.1111\-0.0333&0.1333&-0.0000\end{matrix}\right]$ （矩阵求逆）

当然之后还可以 format long ans 得到小数点位数更多的矩阵表示形式

$\left[\begin{matrix}0.144444444444444&0.022222222222222&0.222222222222222\0.222222222222222&-0.111111111111111&-0.111111111111111\-0.033333333333333&0.133333333333333&-0.000000000000000\end{matrix}\right]$

ans = det(matrix) $\Rightarrow ans = 270$ （方阵求行列式）

求 $n$ 阶主子式：ans = det(matrix(1:n,1:n)) $\Rightarrow ans = 0\ (n = 2)$
求余子式（以 $matrix$ 中数字 $9$ 为例）：matrix(2, :) = [] matrix(:, 3) = [] ans = det(matrix)$\Rightarrow ans = -36$
求代数余子式（以 $matrix$ 中数字 $9$ 为例）：用上文的 $ans = -36$，再 $\times(-1)^{3+2} = -1$，则 $ans = 36$

下面的 $matrix = \left[\begin{matrix}4&8&6&11\1&2&9&-1\7&5&19&3\end{matrix}\right]$。

ans = length(matrix) $\Rightarrow ans = 4$ （取矩阵中行数与列数的较大值）

ans = size(matrix) $\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}3&4\end{matrix}\right]$ （取矩阵行数与列数）

ans = mean(matrix) 或 ans = mean(matrix, 1) $\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}4.0000&5.0000&11.3333&4.3333\end{matrix}\right]$ （按列计算平均值）

ans = mean(matrix, 2) $\Rightarrow ans = \left[\begin{matrix}7.2500\2.7500\8.5000\end{matrix}\right]$ （按行计算平均值）

ans = mean(mean(matrix)) $\Rightarrow ans = 6.1667$ （计算矩阵元素平均值）

下面的 $matrix = \left[\begin{matrix}4&8&-1\1&2&0\3&7&-3\end{matrix}\right]$。

[x, y] =eig(matrix) $\Rightarrow x = \left[\begin{matrix}-0.8447&-0.8743 & 0.1961\ -0.2326& 0.4520 & -0.0418\ -0.4822 & 0.1766& 0.9797\\end{matrix}\right], y = \left[\begin{matrix} 5.6319 & 0 & 0\ 0 & 0.0658 & 0\ 0 & 0 & -2.6977\\end{matrix}\right]$ （计算特征根、特征向量；两矩阵列对应）

此时，计算最大特征根即取 $y$ 的对角线，$max$ 即可。

ans = max(diag(y)) $\Rightarrow ans = 5.6319$

（四）读取文件

读入 $.xls$：

主界面上方导航栏-导入数据-$xls$-划分范围-选择输出类型为数值矩阵-保存即可
matrix = xlsread('path'); 记住，一定要加分号，不然会将所有读入内容输出于Console，变慢很多

（五）绘图

~~离散点系列就不纳入了~~

二维函数图像

参数可分离

x start : step : end; y = f(x); plot(x, y); 即可绘制函数图像

参数不可分离
- 参数方程
  
  a= b= t=0:0.01*pi:2*pi x=a*cos(t) y=b*sin(t) plot(x,y) 椭圆
- 无参数方程
  - syms x y f = 'EQUATION' ezplot(f, X-RANGE, Y-RANGE) (axis equal) EQUATION 中，等号直接写 =

三维函数图像

参数可分离

$eg:\left{\begin{aligned}&x = \sin{t} + t\cos{t}\&y= \cos{t} - t\sin{t}\&z = t\end{aligned}\right.\ \ \ \ (0\leq t\leq 10\pi)$

t=linspace(0, 10*pi, 300) x=sin(t)+t.*cos(t) y=cos(t)-t.*sin(t) z=t 记得是 .*

subplot(1,2,1) % 子图1 plot3(x,y,z) grid on

subplot(1,2,1) % 子图2 plot3(x(1:4:200),y(1:4:200),z(1:4:200)) grid on

参数不可分离
- 参数方程
  
  a= b= t=0:0.01*pi:2*pi x=a*cos(t) y=b*sin(t) plot(x,y) 椭圆
- 无参数方程
  - $z = f(x,y)$ 形式
    
    [x,y] = meshgrid(X-RANGE, Y-RANGE) z = f(x,y) mesh(x,y,z)
    
    $eg:\ $
    
    [x,y] = meshgrid(-2:0.1:2, -2:0.1:2) z = y .* exp(-x.^2 + -y.^2) mesh(x,y,z)
  - $f(x,y,z)= 0$ 形式
    
    fwf

PART 2 运筹优化类

规划类问题大致可看成目标函数在约束条件下的最值问题。
优化模型：$min\ or\ max\ \ z=f(x)\x =\begin{Bmatrix} x_{1},x_{2}...,x_{n} \end{Bmatrix}^{T}\s.t.\ \ g_{i}(x)\le 0\ \ \ i = 1,2,3...m\其中z为目标函数，x为决策变量，s.t.为约束条件$
按模型特点可分为线性规划（LP)、非线性规划(NLP)、整数规划（IP)、动态规划(DP)等

（一）线性规划

1.1 概念

目标函数与约束条件均为线性函数的规划称为线性规划。若可行解限制为整数，则成为整数线性规划，属于规划类里最基础的类型
三要素：决策变量、目标函数与约束条件
应用：运输、生产、销售问题

1.2 标准型

$$ min\ \ \ c^Tx\ \ \ \ \ \\ \left{ \begin{aligned} &A \cdot x\leq b\\ &Aeq\ x = beq\\ &lb \leq x \leq ub \end{aligned} \right. $$

1.3 Matlab模型描述

[x,fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, (x0, options)) 函数用于解决线性规划问题

[x,fval] = intlinprog(c, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub, (x0, options)) 函数用于解决整数线性规划问题

c：目标式中的各变量系数（列向量，若求最大值，需要将 c 中所有值加负号）
intcon：intlinprog中，约束哪一个变量有整数的条件。例如 $x_1,x_2, x_3$中，仅$x_3$有整数的要求的话，intcon=3，若$x_2,x_3$有整数要求的话，intcon=[2,3]
A：所有不等式(必须转换为左 $\leq$ 右的形式)的系数矩阵
b：不等式右侧的常数矩阵
Aeq：所有等式的系数矩阵(没有的话记空矩阵[])
beq：等式的常数矩阵(没有的话记空矩阵[])
lb：对 $x$ 的限制下界(没有的话记空矩阵[])
ub：对 $x$ 的限制上界(没有的话记空矩阵[])
$x_0$：$x$ 的迭代开始点(如果有的话，用列向量标出迭代开始点；可以没有)
options：控制参数（可以缺省）

1.4 例题

$eg: Work\ out:$ $$ \underline{min}\ z = 7x_1+5x_2+9x_3+6x_4+3x_5\ \ \ \ \ \ $$ $$ s.t. \left{ \begin{aligned} &56x_1 + 20x_2+54x_3+42x_4+15x_5\leq 100\ &x_1+4x_2+x_3\leq4\ &x_1+2x_2+x_4+2x_5\geq 2\ &\underline{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \in {0, 1}} \end{aligned} \right. $$ MATLAB 如下：

c=[7,5,9,6,3];
intcon=[1,2,3,4,5];							% 如果是 max 要反过来
A=[56,20,54,42,15;1,4,1,0,0;-1,-2,0,-1,-2];	% 有一组要反过来
b=[100;4;-2];								% 有一个要反过来
lb=zeros(5,1);								% [0;0;0;0;0] 
ub=ones(5,1);								% [1;1;1;1;1]
[x,fval,flag]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb,ub)   % 无等式

$$ \Rightarrow \left{ \begin{aligned} & x = \left[\begin{matrix}0\0\0\0\1\end{matrix}\right]\\ & fval = 3 \end{aligned} \right. $$

对于非线性函数，可以使用对数等等手段变为线性函数之类。

线性投资问题看《数学建模与MATLAB应用》$P_{14}$

（二）非线性规划

2.1 概念

目标函数或约束条件中包含非线性函数的规划称为非线性规划（国赛中的大部分规划题都为非线性规划，难度较大，求解较困难，有时也会转化成启发式算法求解）
三要素：决策变量、目标函数与约束条件
应用：投资决策等大部分规划

2.2 标准型

$$ \ min\ f(x) \ \ s.t.\left{\begin{aligned}&Ax\leq B\&Aeq\cdot x=Beq\&C(x)\leq0\&Ceq(x) = 0 \&lb\leq x\leq ub\end{aligned}\right. $$

2.3 Matlab模型描述

x = fmincon(FUN, X0, A, B, Aeq, Beq, LB, UB, NONLCON, OPTIONS)

FUN：函数 $f(x)$ （求max要取负）
X0：$x$ 初始值（不可为空，不知道填啥就用随机数 rand()）
A：所有线性不等式（必须转换为左 $\leq$ 右的形式）的系数矩阵（没有的话记空矩阵[]）
B：线性不等式右侧的常数矩阵（没有的话记空矩阵[]）
Aeq：所有线性等式的系数矩阵（没有的话记空矩阵[]）
Beq：线性等式的常数矩阵（没有的话记空矩阵[]）
LB：对 $x$ 的限制下界（没有的话记空矩阵[]）
UB：对 $x$ 的限制上界**（没有的话记空矩阵[]）
NONLCON：其中包括非线性不等式函数 $C(x)$，非线性等式函数 $Ceq(x)$
options：控制参数（可以缺省）

2.4 例题

$eg: Work\ out:$ $$ \underline{min}\ f(x) = x_1^2+x_2^2+x_3^2+8\ \ \ \ , \left{ \begin{aligned} &x_1^2-x_2+x_3^2\geq 0\ &x_1+x_2^2+x_3^2\leq 20\ &-x_1-x_2^2+2=0\ &x_2+2x_3^2=3\ &x_1,x_2,x_3 \geq 0 \end{aligned} \right. $$ MATLAB 如下：

首先创建目标函数 fun1.m（函数不支持直接上下文创建）：
```
function f = fun1(x);
f = sum(x.^2) + 8;
```

再创建非线性函数 fun2.m：

function [g, h] = fun2(x);
g = [-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
    x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];
h = [-x(1)-x(2)^2+2
     x(2)+2*x(3)^2-3];

最后写主函数

options = optimset('largescale','off');
[x,y] = fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fun2',options);

$$ \Rightarrow \left{ \begin{aligned} & x = \left[\begin{matrix}0.5522\1.2033\0.9478\end{matrix}\right]\ \ & fval = 10.6511 \end{aligned} \right. $$ 注意：所有函数的.m文件应当放在同一文件夹内

（三）目标规划

3.1 概念

目标规划是线性规划的一种特殊类型，能够处理单个主目标和多个次目标并存的问题。

PART 3 评价决策类

（一）AHP 层次分析法

划分指标（$n$ 个，指标用 $A_i$ 表示，以 $5$ 个为例）
建立指标权重比较用矩阵（成对比较阵，$n\times n$ 方阵）

	$A_1$	$A_2$	$A_3$	$A_4$	$A_5$
$A_1$	1
$A_2$		1
$A_3$			1
$A_4$				1
$A_5$					1

左侧为 $i$ 标号，右侧为 $j$ 标号。

在进行第二步的时候，仅仅根据个人分析进行得出，可能有不一致的情况（$eg:$ 某些比例关系可以根据其他关系计算出来，计算结果与直观感受得出的结果不一致），此时需要进行一致性检验。

$Saaty$ 等提出使用方阵的最大特征值 $\lambda_{max}$ 帮助判断。当 $\lambda_{max} = n$ 时，判断该矩阵一致。此时，当 $\lambda_{max} >> n$ 时，矩阵不一致情况严重。此时提出使用一致性指标 $CI = \frac{\lambda_{max}-n}{n - 1}$ 来进行衡量，$CI = 0$ 时，矩阵严格一致。为了有一定的容错性，$Saaty$ 引入随机一致性指标 $RI$：

	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
$RI$	0.58	0.9	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.52	1.56	1.58	1.59

引入 $CR(Coherence\ Rate) = \frac{CI}{RI}$。当 $CR < 0.1$ 时，判定该矩阵不一致程度在容错范围内。

计算权重

权重向量所对应的是在计算 $\lambda_{max}$ 时所对应的相同位置的列的当中每一个量占该列值总和的比重。

算所选事物的具体指标值

若有 $n$ 个事务待筛选，每个事务下有 $m$ 个指标用于概括和建立模型，则最终需建立 $m$ 个 $n \times n$ 的矩阵用于计算指标值。

$eg:\ $ 去哪里旅游（视频教程内例子）

给定三个地点，苏州、杭州、桂林。

建立五个指标（景色、费用、居住、饮食、旅途）用于概括。

以下为比较不同的指标，从而得出指标的权重。（比较指标）

直观建立成对比较阵（$need\ to\ revise$）

	$A_1$	$A_2$	$A_3$	$A_4$	$A_5$
$A_1$	1	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	2	2
$A_2$	4	1	1	6	6
$A_3$	4	1	1	6	6
$A_4$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	1	1
$A_5$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	1	1

a = [1, 1/4, 1/4, 2, 2; 4, 1, 1, 6, 6; 4, 1, 1, 6, 6; 1/2, 1/6, 1/6, 1, 1; 1/2, 1/6, 1/6, 1, 1]

验证一致性 $$ \lambda_{max} = 5.0133\ CI = \frac{5.0133 - 5}{5-1} = 0.0033157\ CR = \frac{0.0033}{1.12} = 0.0029605 < 0.1 $$ 一致性检验通过。

n = length(a); 						% 取n
[v,d]=eig(a); 						% 计算特征根和特征向量
[r,loc] = max(max(d));				% 返回最大特征向量及其所在列数
									% r = 5.0133, loc = 1 (第一列)
CI=(r-n)/(n-1);
RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
CR=CI/RI(n);						% 取 CR 的第 n 个元素
if  CR<0.10 || n==2
    CR_Result='通过';
   else
    CR_Result='不通过';   
end

得到权值向量

已知 $\lambda_{max} = 5.0133$，所对应的列元素为 $w = \left[\begin{matrix}0.1929\0.6854\0.6854\0.1078\0.1078\end{matrix}\right]$，此时计算每个元素的占总和比即可

w=v(:,loc)/sum(v(:,loc));			% 个体除以总和
w=w';								% 转置

$$ w = \left[\begin{matrix}0.10839 & 0.38521 & 0.38521 & 0.060598 & 0.060598\end{matrix}\right] $$

以下为对于每一个指标，比较三个城市。（比较城市）

按照不同的指标（景色、费用、居住、饮食、旅途），对每一个城市依次直观建立成对比较阵

$B_1:$

景色	苏州	杭州	桂林
苏州	1	2	5
杭州	$\frac{1}{2}$	1	2
桂林	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{2}$	1

后同（使用视频例子）： $$ B_2 = \left[\begin{matrix} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{8} \ 3 & 1 & \frac{1}{3} \ 8 & 3 & 1 \ \end{matrix}\right],\

B_3 = \left[\begin{matrix} 1&1&3 \ 1&1&3 \ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1 \ \end{matrix}\right],\

B_2 = \left[\begin{matrix} 1&3&4 \ \frac{1}{3} & 1 & 1 \ \frac{1}{4} & 1 & 1 \ \end{matrix}\right],\

B_2 = \left[\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1}{4} \ 1 & 1 & \frac{1}{4} \ 4 & 4 & 1 \ \end{matrix}\right] $$

对每一个矩阵进行一致性验证、计算权值向量（略），结果如下

	景色	费用	居住	饮食	旅途
苏州	0.595	0.082	0.429	0.633	0.166
杭州	0.277	0.236	0.429	0.193	0.166
桂林	0.129	0.682	0.142	0.175	0.668

计算模型评判值

苏州	$0.108390.595+0.385210.082+0.385210.429+0.0605980.633+0.060598*0.166= 0.309752162$
杭州	*$0.108390.277+0.385210.236+0.385210.429+0.0605980.193+0.0605980.166= 0.307943362$**
桂林	*$0.108390.129+0.385210.682+0.385210.142+0.0605980.175+0.0605980.668= 0.382479464$**

综上，选桂林。

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