-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathconclu.tex
executable file
·212 lines (157 loc) · 9.27 KB
/
conclu.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\chapter*{Introduction\\\rule{\textwidth}{0.1cm}}
\chapter*{Conclusion générale et perspectives\vspace{1mm}\hrule}
\addcontentsline{toc}{starchapter}{Conclusions et perspectives}
%\thispagestyle{plain}
\markboth{Conclusions et perspectives}{Conclusions et perspectives}
%\pagenumbering{arabic}
%\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Synthèse des travaux réalisés}
Commençons par reprendre les différents chapitres afin d'isoler un peu
plus précisément nos différentes contributions.
\begin{itemize}
\vspace{0.5cm}
\item \aut{Chapitre \ref{chap:IA}} : nous avons présenté les
différents modèles de discrétisation les plus utilisés. Nous avons
ensuite proposé une approche basée sur l'arithmétique d'intervalles
pour caractériser la supercouverture d'un objet euclidien.
\vspace{0.5cm}
\item \aut{ Chapitre \ref{chap:ILP}} : nous nous sommes intéressés
aux objets fondamentaux de la géométrie discrète que sont
les droites, les plans et les cercles discrets. Après avoir fait le
lien avec des résultats de géométrie algorithmique, de programmation
linéaire ou d'arithmétique, nous avons analysé la complexité des
algorithmes de reconnaissance. Plus précisément, nous avons insisté
sur la caractérisation de la préimage des plans discrets et sur
l'algorithmique associée à la reconnaissance de cercles discrets.
\vspace{0.5cm}
\item \aut{Chapitre \ref{chap:reconstruction}} : nous avons
mis en \oe uvre les algorithmes de reconnaissance dans le cadre de la
reconstruction réversible d'objets euclidiens. Dans un contexte de
tracé par un solveur d'arithmétique d'intervalles de fonctions
complexes, nous avons présenté un mécanisme de reconstruction sur
des grilles isothétiques irrégulières en dimension 2 à la fois
efficace en nombres de segments mais aussi correct topologiquement
et géométriquement. Nous avons ensuite exploité et optimisé la
préimage des plans discrets pour obtenir une reconstruction
réversible d'un polyèdre à partir d'un objet discret 3D.
\vspace{0.5cm}
\item \aut{Chapitre \ref{chap:AM}} : nous nous sommes
intéressés à l'analyse volumique de formes discrètes par le biais de
la transformation en distance et de l'extraction de l'axe médian.
Nous avons présenté des algorithmes séparables, optimaux en temps,
pour tous ces problèmes. Par la suite et en exploitant le côté
séparable des outils, nous avons généralisé ces transformations aux
espaces toriques, modélisation très utilisée dans de nombreuses
applications.
\vspace{0.5cm}
\item \aut{Chapitre \ref{chap:minim-et-simpl}} : nous nous sommes
intéressé à l'exploitation et à l'optimisation de la représentation
des objets discrets sous forme d'union de boules discrètes (l'axe
médian). Cette représentation étant parfois redondante, nous avons
tout d'abord montré que la notion d'axe médian minimum entrait dans
une classe de problèmes algorithmiques difficiles (NP-difficiles).
Par la suite, plusieurs heuristiques ont été proposées pour réduire
cet ensemble sans perte d'information. Enfin, nous nous sommes
intéressés à la notion de filtrage (donc avec perte) de l'axe
médian. Ces différents outils ont été utilisés dans une
problématique de transmission progressive d'objets discrets.
\end{itemize}
D'un point de vue contractuel, les développements liés à
l'arithmétique d'intervalles et aux grilles isothétiques irrégulières
se sont déroulés dans le cadre de l'ACI Jeunes Chercheurs GeomDiGIT
(voir section \ref{sec:activ-contr}). Concernant l'analyse d'objets
fondamentaux, nous rejoignons ici le projet ANR Blanc GeoDib sur
lequel nous reviendrons dans les perspectives.
En termes de collaborations, ces éléments ont été très souvent le
fruit de collaborations ou de discussions (voir sections
\ref{sec:coll-intern} et \ref{sec:coll-nati-exter}) et ont donné
lieu, en plus de publications, à des développements logiciels
diffusés (voir annexe \ref{chap:real-logic-et}).
\section{Perspectives et projets}
Si des perspectives ont déjà été données dans les conclusions des
différents chapitres, nous revenons plus précisément sur quatre d'entre
elles mettant en \oe uvre plus précisément des collaborations et
projets.
\vspace{0.5cm}
\noindent\aut{Définition et algorithmique associées aux objets
fondamentaux pour l'intégration d'incertitude ou de bruit}
Une des forces de la géométrie discrète, c'est le fait que l'on puisse
faire des calculs exacts et que l'arithmétique sous-jacente nous
permet de proposer des algorithmes très efficaces. Une des critiques
parfois formulée porte sur le fait qu'elle relègue la gestion de
l'incertitude ou du bruit soit en pré, soit en post-traitement. L'un
des objectifs du projet ANR Blanc Geodib est de repousser ces limites
de la géométrie discrète pour formaliser, arithmétiser et proposer des
algorithmes pour intégrer ces incertitudes. Pour cela, il faut revoir
les définitions mêmes des objets fondamentaux. Dans ce contexte, nous
nous intéresserons plus particulièrement à des définitions
arithmétiques intégrant des notions d'\emph{anti-aliasing} ou
permettant d'être moins sensibles aux \emph{outliers} (points discrets
non représentatifs d'une droite, ces points sont catastrophiques dans
la reconnaissance classique).
Ce projet, démarré en septembre 2006, prendra fin en 2010.
\vspace{0.5cm}
\noindent\aut{Reconstruction parallèle de contours discrets à base de
cartes combinatoires}
Ce projet correspond à une récente collaboration avec \aut{Guillaume
Damiand} (SIC, Poitiers) dont les activités principalessur
l'utilisation des cartes combinatoires pour la modélisation et la
définition d'algorithmes de traitement et d'analyse d'images.
L'objectif de ce projet est de guider une simplification de la carte
combinatoire associée à une image en intégrant des opérateurs
géométriques fondés sur les droites et plans discrets. La structure
de la carte offre de plus l'avantage de permettre des traitements
parallèles ou hiérarchiques.
Notre participation à ce projet porte sur la définition d'opérateurs
rapides d'union de segments de droites discrètes. L'application de
tels opérateurs en parallèle permet d'espérer une reconstruction plus
globale et moins sujette à un choix de parcours ou un séquencement des
opérations.
En dimension 3, les problèmes théoriques sont importants mais les
résultats espérés en sont d'autant plus intéressants.
\vspace{0.5cm}
\noindent{\bf \aut{Couverture par arcs de cercle pour la définition
d'estimateurs géométriques convergents}}
Cette perspective rejoint les premiers développements que nous avons
fait au cours de la thèse portant sur la définition d'estimateurs
géométriques (longueur, tangente, courbure,\ldots) sur des données
discrètes. Nos contributions, basées sur une approche
géométrique, voire analytique, ont très vite montré leur limite car
certains comportements échappaient à notre formalisation. Par la
suite, il s'est avéré qu'une approche arithmétique était beaucoup plus
pertinente \cite{deVieilleville_these}.
Géométriquement, ces approches utilisent la couverture tangentielle
d'une courbe discrète (couverture engendrée pas les segment discrets
maximaux calculés en tous points) et des propriétés de longueur ou de
distribution des segments maximaux permettent de prouver la
convergence de certains estimateurs. Une couverture intéressante, à
la fois d'un point de vue théorique et d'un point de vue pratique,
serait celle engendrée par des arcs de cercles maximaux. Beaucoup de
questions portent sur la distribution des longueurs des arcs par
exemple. Pour avoir des premiers résultats expérimentaux, des efforts
restent à faire concernant l'algorithmique associée à la
reconnaissance de cercles discrets.
\vspace{0.5cm}
\noindent\aut{Axe médian hiérarchique : The Digital Sphere Tree}
En modélisation ou synthèse d'images, la structure par arbre de
sphères connaît un certaine popularité dans la communauté de
modélisation pour son usage dans de nombreux domaines~: détection de
collisions, rendu avec des techniques \emph{point based rendering}, \ldots
En géométrie discrète, quelques travaux ont été menés pour représenter
des objets avec une structure multirésolution (basée sur un
amincissement homotopique contraint) \cite{lucas}. Cette structure
hiérarchique ne remet pas en cause l'axe médian construit (et donc les
rayons des boules) sur le niveau initial, elle ne fait juste que le
simplifier.
Ce que nous souhaitons analyser, c'est une structure hiérarchique en
intégrant, comme dans le cas continu, une flexibilité quant à la
réversibilité de la construction. L'objectif est dans mettre en place
des processus de fusion de boules par exemple. Pour arriver à cela,
nous devrons sûrement exploiter le diagramme de puissance discret
permettant de mieux interpréter les interactions entre boules.
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "these"
%%% End: