-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy path4.tex
170 lines (119 loc) · 7.94 KB
/
4.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% CURSUL 4 %
% %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part{}
\section{Derivabilitate în $\mathbb{R}$}
\paragraph{Definiția 1.}
O funcție $f:D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ este
derivabilă în $x_{0} \in D \cap D'$ dacă \\[5pt]
$\exists \displaystyle\lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} \in \mathbb{R}$.
\paragraph{NOTAȚIE} $\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}}$ $\ushortdw{not}$ $f'(x_{0})$ (derivata funcției $f$ în $x_{0}$).
\paragraph{Definiția 2.}
Funcția $f:D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ se numește derivabilă în orice punct din $D \cap D'$.
\paragraph{Observație}
Funcția $f: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ este dervabilă în $x_{0} \in D \cap D'$ $\Leftrightarrow$ $\exists l \in \mathbb{R}$ cu proprietatea că $\forall \varepsilon > 0$,
$\exists \delta_{\varepsilon} > 0$ astfel încât $\forall x \in D \ \{x_{0}\}$ cu $\lvert x - x_{0} \rvert < \delta_{\varepsilon}$ avem că
$\left| \frac{\displaystyle f(x) - f(x_{0})}{\displaystyle x-x_{0}} - l
\right|$ $ < \varepsilon$. În acest caz, $l = f'(x_{0})$.
\paragraph{Definiția 3.}
Fie $f:D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ și $x_{0} \in D \cap (D \cap (-\infty, x_{0}))'$. $f$ este derivabilă la stânga în $x_{0}$ dacă
$\exists \displaystyle\lim_{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ x<x_{0}}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} \in \mathbb{R}$.
\paragraph{NOTAȚIE}
$\displaystyle\lim_{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ x<x_{0}}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}}$ $\ushortdw{not}$ $f_{s}'(x_{0})-x < x_{0}$.
\paragraph{Definiția 4.}
Fie $f:D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ și $x_{0} \in D \cap (D \cap (x_{0}, +\infty))'$. $f$ este derivabilă la stânga în $x_{0}$ dacă
$\exists \displaystyle\lim_{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ x>x_{0}}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} \in \mathbb{R}$.
\paragraph{NOTAȚIE}
$\displaystyle\lim_{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ x>x_{0}}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}}$ $\ushortdw{not}$ $f_{d}'(x_{0})-x < x_{0}$.
\paragraph{Observație}
Dacă $x_{0} \in D^{\circ}$ atunci $x_{0} \in D \cap (D \cap (-\infty, x_{0}))' \cap (D \cap (x_{0}, +\infty))'$.
\paragraph{Teorema 1.}
Fie $f:D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ și $x_{0} \in D^{\circ}$. Următoarele afirmații sunt echivalente:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $f$ este derivabilă în $x_{0}$;
\item $f$ este derivabilă la stânga și la dreapta în $x_{0}$ și $f_{s}'(x_{0}) = f_{d}'(x_{0})$.
\end{enumerate}
În acest caz, $f'(x_{0}) = f_{s}'(x_{0}) = f_{d}'(x_{0})$.
\paragraph{Teorema 2.}
Dacă $f:D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ este derivabilă în $x_{0} \in D \cap D'$ atunci $f$ este continuă în $x_{0}$.
\paragraph{Demonstrație}
$\exists\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} = f'(x_{0}) \in \mathbb{R}$
\vspace{5pt}
$f(x) - f(x_{0}) = \frac{\displaystyle f(x) - f(x_{0})}{\displaystyle x - x_{0}} (x - x_{0})$, $\forall x \in D \setminus \{x\}$
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} = f'(x_{0}) \in \mathbb{R}$
\vspace{5pt}
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_{0}} (x - x_{0}) = 0 \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow$
$\Rightarrow$ $\exists\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_{0}} (f(x) - f(x_{0})) = 0$ $\Rightarrow$
$\Rightarrow$ $\exists\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = f(x_{0})$ $\Rightarrow$
$\Rightarrow$ $f$ este continuă în $x_{0}$.
\paragraph{Observație}
Reciproca teoremei 2 este falsă.
\paragraph{Exemple:}
\begin{enumerate}[label=\emph{\arabic*})]
\item $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = \lvert x \rvert$
$f$ este continuă în 0
$f$ nu este derivabilă în 0
\item $f: [-1, 1] \rightarrow [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, $f(x) = \arcsin x$
$f$ este continuă în 1, în -1
$f$ nu este derivabilă în 1, în -1
\item $f: [0, +\infty] \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt[2k]{x}$, $k \in \mathbb{N}^{*}$
$f$ este continuă în 0
$f$ nu este derivabilă în 0
\end{enumerate}
\subsection{Operații cu funcții derivabile}
Considerăm $f$, $g: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ și $x_{0} \in D \cap D'$ astfel încât $f$ și $g$ sunt derivabile în $x_{0}$. Atunci:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $f+g$, $f-g$, $\lambda f$, $f \cdot g$ sunt derivabile în $x_{0}$ și au loc următoarele formule:
\begin{itemize}
\item $(f \pm g)'(x_{0}) = f'(x_{0}) \pm g'(x_{0})$
\item $(\lambda f)'(x_{0}) = \lambda f'(x_{0})$
\item $(f \cdot g)'(x_{0}) = f'(x_{0})g(x_{0}) + f(x_{0})g'(x_{0})$
\end{itemize}
\item Dacă, în plus, $g(x) \neq 0$, $\forall x \in D$, atunci $\frac{\displaystyle f}{\displaystyle g}$ este funcție derivabilă în $x_{0}$ și \\
$\left(\displaystyle\frac{f}{g}\right)'(x_{0}) = \frac{\displaystyle f'(x_{0})g(x_{0})-f(x_{0})g'(x_{0})}{\displaystyle g^{2}(x)}$
\end{enumerate}
\subsection{Compunerea funcțiilor derivabile}
Considerăm $f: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ și $g: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ astfel încât $Imf \subseteq A$ și $x_{0} \in D \cap D'$
astfel încât $f(x_{0}) \in (Imf)'$
Dacă $f$ este derivabilă în $x_{0}$ și $g$ este derivabilă în $f(x_{0})$, atunci $g \circ f: D \rightarrow \mathbb{R}$ este derivabilă în $x_{0}$ și $(g \circ f)'(x_{0}) = g'(f(x_{0})) \cdot f'(x_{0})$.
\subsection{Derivabilitatea inversei unei funcții}
Considerăm o funcție bijectivă $f: I \rightarrow J$, unde $I$, $J$ $\subseteq \mathbb{R}$ sunt intervale.
Fie $x_{0} \in I \cap I'$ astfel încât $f(x_{0}) \in J \cap J'$. Dacă $f$ este derivabilă în $x_{0}$, dacă $f^{-1}$ este continuă în $y_{0} = f(x_{0})$ și $f'(x_{0}) \neq 0$,
atunci $f^{-1}: J \rightarrow I$ este derivabilă în $y_{0} = f(x_{0})$ și $(f^{-1})'(y_{0}) = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle f'(x_{0})}$.
\paragraph{Definiția 5.}
Fie $f: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ și $x_{0} \in D$
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $x_{0}$ se numește punct de maxim $global$ pentru $f$ dacă $f(x) \leq f(x_{0})$, $\forall x \in D$
\item $x_{0}$ se numește punct de maxim $local$ pentru $f$ dacă $\exists V \in \mathcal{V}(x_{0})$ astfel încât $f(x) \leq f(x_{0})$,\\ $\forall x \in V \cap D$
\item $x_{0}$ se numește punct de minim $global$ pentru $f$ dacă $f(x) \geq f(x_{0})$, $\forall x \in D$
\item $x_{0}$ se numește punct de minim $local$ pentru $f$ dacă $\exists V \in \mathcal{V}(x_{0})$ astfel încât $f(x) \geq f(x_{0})$,\\ $\forall x \in V \cap D$
\end{enumerate}
\subsection{Teorema lui Fermat}
Fie $f:I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ și $x_{0} \in \mathring{I}$ astfel încât $f$ este derivabilă în $x_{0}$ și $x_{0}$ este punct de extrem local pentru $f$. Atunci $f'(x_{0}) = 0$.
\paragraph{Demonstrație}
Presupunem că $x_{0}$ este punctul de maxim local. $\Rightarrow$
$\Rightarrow$ $\exists V \in \mathcal{V}(x_{0})$ astfel încât $f(x) \leq f(x_{0}), \forall x \in V \cap I$.
\vspace{10pt}
$
\left.
\begin{array}{rl}
%0 & \text{, } l = +\infty \\
%+\infty & \text{, } l = 0 \\
%\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle l} & \text{, } l \in (0, +\infty)
x \in \mathring{I} \Rightarrow I \in \mathcal{V}(x_{0}) \\
V \in \mathcal{V}(x_{0})
\end{array} \right|
\Rightarrow I \cap V \in \mathcal{V}(x_{0}) \Rightarrow \exists r>0$ astfel încât $(x_{0} - r, x_{0} + r) \subseteq I \cap V \Rightarrow
$
\vspace{10pt}
$\Rightarrow$ $f(x) \leq f(x_{0})$, $\forall x \in (x_{0} - r, x_{0} + r)$.
\vspace{10pt}
$\frac{\displaystyle f(x) - f(x_{0})}{\displaystyle x - x_{0}} \geq 0$, $\forall x \in (x_{0} - r, x_{0})$
\vspace{3pt}
$\frac{\displaystyle f(x) - f(x_{0})}{\displaystyle x - x_{0}} \leq 0$, $\forall x \in (x_{0}, x_{0} + r)$
\vspace{10pt}
Obținem că $f'_{s}(x_{0}) \geq 0$ și $f'_{d}(x_{0}) \leq 0$.
$f$ este derivabilă în $x_{0}$ $\Rightarrow$ $f'(x_{0}) = f's(x_{0}) = f'd(x_{0})$.
Concluzie: $f'(x_{0}) = 0$.