-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy path1.tex
186 lines (153 loc) · 7.99 KB
/
1.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% CURSUL 1 %
% %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part{}
\section{Șiruri de funcții reale}
\paragraph{}
Fie $(f_{n})_{n \in \mathbb{Z}}.$
$f_{n}: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
\paragraph{Definiția 1.}
Spunem că șirul de funcții $(f_{n})_{n \in \mathbb{Z}}$ converge simplu pe
mulțimea $A \subseteq D$ dacă $\forall \, \, x \in A$, șirul
$(f_{n})_{n \in \mathbb{Z}} \subseteq \mathbb{R}$ este convergent.
\paragraph{NOTAȚIE}
$\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) = f(x)$,
$\, f_n \, \autorightarrow{$s$}{$n\rightarrow\infty$} f$
pe mulțimea $A$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$
\paragraph{Definiția 2.}
Spunem că șirul de funcții $(f _{n} ) _{ n\in\mathbb{Z} }$ converge uniform
pe mulțimea $A \subseteq D$ dacă $\exists \, f:A \rightarrow \mathbb{R}$ cu
proprietatea că $\forall \, \varepsilon>0, \exists \, n_{\varepsilon} \in
\mathbb{N}$ astfel încât $\lvert f_{n}(x) - f(x) \rvert < \varepsilon,
\forall \, n \geq n_{\varepsilon}, \forall \, x \in A.$
\paragraph{NOTAȚIE}
$f_{n} \autorightarrow{$u$}{$n\rightarrow\infty$} f$ pe mulțimea $A$.
\paragraph{Observație}
$f_{n} \autorightarrow{$u$}{$n\rightarrow\infty$} f$ pe mulțimea $A
\subseteq D \Rightarrow f_n$ $\autorightarrow{$s$}{$n\rightarrow\infty$} f$
pe mulțimea $A$.
\hspace{187pt}
$\nLeftarrow$
\subsection{Criteriul practic de convergență uniformă pentru un șir de
funcții}
Următoarele afirmații sunt echivalente:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $f_{n} \autorightarrow{$u$}{$n\rightarrow\infty$} f$ pe mulțimea
$A \subseteq D$.
\item $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(\sup_{x \in A} \lvert
f_{n}(x) - f(x) \rvert) = 0$
\end{enumerate}
\subsection{Criteriul lui Cauchy pentru limite de funcții}
Următoarele afirmații sunt echivalente:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniform pe mulțimea
$A \subseteq D$
\item $\forall \, \varepsilon>0$, $\exists \, n_{\varepsilon} \in
\mathbb{N}$ astfel încât $\vert f_{n}(x) - f_{m}(x) \rvert <
\varepsilon$, $\forall \, n, m \geq n_{\varepsilon}$,
$\forall \, x \in A$
\end{enumerate}
\subsection{Teorema lui Weierstrass}
Considerăm un șir de funcții $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$, o funcție $f:A
\subseteq D \rightarrow \mathbb{R}$ astfel încât $f_{n}
\autorightarrow{$u$}{$n \rightarrow \infty$} f$ pe mulțimea $A$. Dacă
$\exists \, x_{0} \in A$ astfel încât $f_{n}$ este continuă în $x_{0}$,
$\forall \, n \in \mathbb{N}$, atunci $f$ este continuă în $x_{0}$.
\subsection{Teorema Stone-Weierstrass}
Pentru orice funcție continuă $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, există un
șir de funcții polinomiale $(p_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ astfel încât $p_{n}
\autorightarrow{$u$}{$n \rightarrow \infty$} f$ pe mulțimea $[a, b]$.
\subsection{Teorema lui Dini}
Considerăm un șir monoton de funcții continue $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$,
$f_{n}: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ ($f_{n} \leq f_{n+1}$, $\forall \, n
\in \mathbb{N}$) sau ($f_{n} \geq f_{n+1}$, $\forall \, n \in \mathbb{N}$)
și o funcție continuă $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ astfel încât $f_{n}
\autorightarrow{$s$}{$n \rightarrow \infty$} f$ pe mulțimea $[a, b]$.
Atunci $f_{n} \autorightarrow{$u$}{$n \rightarrow \infty$} f$ pe mulțimea
$[a, b]$.
\subsection{Teorema lui Polya}
Considerăm un șir de funcții continue și monotone $(f_{n})_{n \in
\mathbb{N}}$, $f_{n}:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ și o funcție continuă
$f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ astfel încât
$f_{n} \autorightarrow{$s$}{$n \rightarrow \infty$} f$ pe mulțimea $[a, b]$.
Atunci $f_{n} \autorightarrow{$u$}{$n \rightarrow \infty$} f$ pe mulțimea
$[a, b]$.
\section{Serii de funcții reale}
$(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$; $f_{n}: D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow
\mathbb{R}$ \\
$(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ $\rightarrow$ $(s_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ \\
$s_{n}:D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ \\
$s_{n}(x) = f_{0}(x) + f_{1}(x) + \mathellipsis + f_{n}(x)$
\paragraph*{Definiția 1.}
Perechea de șiruri de funcții ($(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$, $(s_{n})_{n \in
\mathbb{N}}$) se numește seria de funcții atașată șirului de funcții
$(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ și se notează
$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} f_{n}$.
\paragraph*{Definiția 2.}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Spunem că seria de funcții $\displaystyle\sum_{n =
0}^{+\infty}f_{n}$ este simplu convergentă pe mulțimea $A
\subseteq D$ dacă șirul de funcții $(s_{n})_{n \in \mathbb{N}}$
converge simplu pe mulțimea $A$.
\item Spunem că seria de funcții $\displaystyle\sum_{n =
0}^{+\infty}f_{n}$ este absolut convergentă pe mulțimea $A
\subseteq D$ dacă seria de funcții $\displaystyle\sum_{n =
0}^{+\infty} \lvert f_{n} \rvert$ este simplu convergentă pe
mulțimea $A$.
\item Spunem că seria de funcții $\displaystyle\sum_{n =
0}^{+\infty}f_{n}$ este uniform convergentă pe mulțimea $A
\subseteq D$ dacă șirul de funcții $(s_{n})_{n \in \mathbb{N}}$
converge uniform pe mulțimea $A$.
\end{enumerate}
\paragraph*{Observații}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Din seria de funcții $\displaystyle\sum_{n = 0}^{+\infty}f_{n}$
este absolut convergentă pe mulțimea $A \subseteq D$, atunci ea
este simplu convergentă pe mulțimea $A \subseteq D$.
\item Dacă seria de funcții $\displaystyle\sum_{n = 0}^{+\infty}f_{n}$
este uniform convergentă pe mulțimea $A \subseteq D$, atunci ea
este simplu convergentă pe mulțimea $A \subseteq D$
\end{enumerate}
\subsection{Criteriul lui Cauchy pentru serii de funcții}
Următoarele afirmații sunt echivalente:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item seria de funcții $\displaystyle\sum_{n = 0}^{+\infty}f_{n}$ este
uniform convergentă pe mulțimea $A \subseteq D$.
\item $\forall \, \varepsilon > 0$, $\exists \, n_{\varepsilon} \in
\mathbb{N}$ astfel încât $\lvert f_{n}(x) + f_{n+1}(x) +
\mathellipsis + f_{n+p}(x) \rvert < \varepsilon$, $\forall \, n
\geq n_{\varepsilon}$, $\forall \, p \in \mathbb{N}$, $\forall
\, x \in A$.
\end{enumerate}
\subsection{Criteriul lui Weierstrass pentru serii de funcții}
Fie $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ un șir de funcții, $f_{n}:D \subseteq
\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \subseteq
\mathbb{R}_{+}$, $A \subseteq D$ astfel încât $\lvert f_{n}(x) \rvert \leq
a_{n}$, $\forall \, x \in A$, $\forall \, n \in \mathbb{N}$. Dacă seria de
numere reale $\displaystyle\sum_{n = 0}^{+\infty}a_{n}$ este convergentă,
atunci seria de funcții $\displaystyle\sum_{n = 0}^{+\infty}f_{n}$ este
uniform convergentă pe mulțimea $A$.
\paragraph{Demonstrație}
$\displaystyle\sum_{n = 0}^{+\infty}a_{n}$ este convergentă $\Rightarrow$
$\Rightarrow$$\forall \, \varepsilon > 0$, $\exists \, n_{\varepsilon} \in
\mathbb{N}$ astfel încât $\lvert a_{n} + a_{n+1} + \mathellipsis + a_{n+p}
\rvert < \varepsilon$, $\forall \, n \geq n_{\varepsilon}$, $\forall \, p
\in \mathbb{N}$ $\Rightarrow$
$\Rightarrow$$\forall \, \varepsilon > 0$, $\exists \, n_{\varepsilon} \in
\mathbb{N}$ astfel încât $a_{n} + a_{n+1} + \mathellipsis + a_{n+p} <
\varepsilon$, $\forall \, n \geq n_{\varepsilon}$, $\forall \, p \in
\mathbb{N}$ \ding{172} \\[5pt]
$\lvert f_{n}(x)+f_{n+1}(x)+\mathellipsis+f_{n+p}(x) \rvert \leq \lvert
f_{n}(x) \rvert + \lvert f_{n+1}(x) \rvert + \mathellipsis + \lvert
f_{n+p}(x) \rvert \leq a_{n}(x)+a_{n+1}(x)+\mathellipsis+a_{n+p}(x)$,
$\forall \, x \in A$, $\forall \, n,p \in \mathbb{N}$. \ding{173} \\[15pt]
Din \ding{172} și \ding{173} $\Rightarrow$ $\forall \, \varepsilon > 0$,
$\exists \, n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}$ astfel încât \\
$\lvert f_{n}(x)+f_{n+1}(x)+\mathellipsis+f_{n+p}(x) \rvert < \varepsilon$,
$\forall \, n \geq n_{\varepsilon}$, $\forall \, p \in \mathbb{N}$, $\forall
\, x \in A$. \\
$\xRightarrow{Cauchy}$ seria de funcții
$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}f_{n}$ este uniform și absolut convergentă
pe $A$.